数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 対数関数、無限級数、極限、有理式の存在、背理法

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   問題の等式を満たす 有理式、

   $R\left(n\right)$

   が存在すると仮定する。

   これを、

   $\begin{array}{l}R\left(x\right)=\frac{\sum _{i=0}^s{a}_i{x}^i}{\sum _{j=0}^t{b}_j{x}^j}\\ a_s\ne 0,b_t\ne 0\end{array}$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{l}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^t}{x^s}R\left(x\right)\\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sum _{i=0}^s{a}_i{x}^{i-s}}{\sum _{j=0}^t{b}_j{x}^{j-t}}\\ =\frac{a_s}{b_t}\end{array}$

   また、問4の（2）より、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{R\left(n\right)}{\log n}=1$

   よって、

   $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{s-t}}{\log n}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{R\left(n\right)}{\log n}·\frac{n^s}{n^t}·\frac{1}{R\left(n\right)}\\ =\frac{b^t}{a^s}\end{array}$

   また、

   $s\le t$

   のとき、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{s-t}}{\log n}=0$

   また、

   $s>t$

   の場合、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{s·t}}{\log n}=\infty$

   これは、

   $\underset{n\to n}{\lim }\frac{n^{s-x}}{\log n}=\frac{b^t}{a^s}$

   と矛盾。

   よって、

   $R\left(n\right)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

   を満足する有理式は存在しない。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, log, plot

print('5.')

n, k = symbols('n, k', integer=True)
an = summation(1 / k, (k, 1, n))

p = plot(an, log(n + 1), log(n) + 1,
         (n, 1, 11),
         show=False,
         legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py
5.
%