数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 関数、整式、分数、収束するための必要十分条件

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $m<\frac{n}{2}-1$

    ならば、

    $\frac{n}{2}-m>1$

    となり、また、

    $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\frac{n}{2}-m}f\left(x\right)$

    は収束する。

    よって、

    ${\int }_a^{+\infty }f$

    は収束する。

    逆に、

    ${\int }_a^{+\infty }f$

    が収束するとき、

    $m\ge \frac{n}{2}-1$

    と仮定すると、

    $m+1\ge \frac{n}{2}$

    なので、

    $\underset{x\to +\infty }{\lim }xf\left(x\right)\ne 0$

    となり、

    ${\int }_a^{+\infty }f$

    は収をせずに発散する。 よって矛盾。

    ゆえに

    $m<\frac{n}{2}-1$

    以上より、 問題の条件下で

    ${\int }_a^{+\infty }f$

    が収束するための必要な条件は、

    $m<\frac{1}{2}-1$

    である。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Integral, Rational, oo

print('10.')

x = symbols('x')
fs = [1 / x ** Rational(1, 2), 1 / x, 1 / x ** 2]

for f in fs:
    I = Integral(f, (x, Rational(1, 10000), oo))
    for o in [I, I.doit()]:
        pprint(o)
        print()


p = plot(*fs,
         (x, 0.1, 5),
         ylim=(0, 5),
         show=False,
         legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample11.py 
10.
   ∞         
   ⌠         
   ⎮    1    
   ⎮    ── dx
   ⎮    √x   
   ⌡         
1/10000      

∞

   ∞        
   ⌠        
   ⎮    1   
   ⎮    ─ dx
   ⎮    x   
   ⌡        
1/10000     

∞

   ∞         
   ⌠         
   ⎮    1    
   ⎮    ── dx
   ⎮     2   
   ⎮    x    
   ⌡         
1/10000      

10000

%