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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題11の解答を求めてみる。
ならば、
となり、また、
は収束する。
よって、
は収束する。
逆に、
が収束するとき、
と仮定すると、
なので、
となり、
は収をせずに発散する。 よって矛盾。
ゆえに
以上より、 問題の条件下で
が収束するための必要な条件は、
である。
(証明終)
コード
#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Integral, Rational, oo
print('10.')
x = symbols('x')
fs = [1 / x ** Rational(1, 2), 1 / x, 1 / x ** 2]
for f in fs:
I = Integral(f, (x, Rational(1, 10000), oo))
for o in [I, I.doit()]:
pprint(o)
print()
p = plot(*fs,
(x, 0.1, 5),
ylim=(0, 5),
show=False,
legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
o.line_color = color
p.show()
p.save('sample11.png')
入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))
% ./sample11.py
10.
∞
⌠
⎮ 1
⎮ ── dx
⎮ √x
⌡
1/10000
∞
∞
⌠
⎮ 1
⎮ ─ dx
⎮ x
⌡
1/10000
∞
∞
⌠
⎮ 1
⎮ ── dx
⎮ 2
⎮ x
⌡
1/10000
10000
%
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