数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - スカラー積 - 三角関数(正弦と余弦)、倍角、直交、加法定理、奇関数、関数空間におけるスカラー積、連続関数、定積分

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、3(スカラー積)の練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   $\begin{array}{l}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\cos mx\mathrm{dx}\\ ={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\sin \left(nx+mx\right)-\sin \left(nx-mx\right)}{2}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\left({\int }_{-\pi }^{\pi }\sin \left(n+m\right)x\mathrm{dx}-{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin \left(n-m\right)x\mathrm{dx}\right)\end{array}$

   正弦は奇関数なのでこの値は零である。

   よって

   $\sin nx,\cos mx$

   は直交する。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Integral, plot, sin, cos

print('8.')

x = symbols('x', real=True)
m, n = symbols('m, n', integer=True)
f = sin(n * x)
g = cos(m * x)


def dot(f, g):
    return Integral(f * g, (x, -1, 1)).doit()


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(dot(f, g), 0)


p = plot(*[h.subs({n: 1, m: 2}) for h in [f, g, f * g]],
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample8.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample8.py -v
8.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 2.337s

OK
%