数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - 帰納法 - 二項定理の証明

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録2(帰納法)の練習問題9を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^0=1\\ \sum _{k=0}^0\left(\begin{array}{c}0\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{0-k}\\ =\frac{0!}{0!\left(0-0\right)!}{x}^0{y}^0\\ =1\end{array}$

   よって、

   ${\left(x+y\right)}^0=\sum _{k=0}^0\left(\begin{array}{c}0\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{0-k}$

   また、

   $\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^n\\ =\left(x+y\right){\left(x+y\right)}^{n-1}\\ =\left(x+y\right)\sum _{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{\left(n-1\right)-k}\\ =\sum _{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)x^{k+1}{y}^{n-k-1}+\sum _{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{n-k}\\ =\sum _{k=1}^n\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)x^k{y}^{n-\left(k-1\right)-1}+\sum _{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{n-k}\\ =\sum _{k=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)x^k{y}^{n-k}+x^n+y^n+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{n-k}\\ =\sum _{k=1}^{n-1}\left(\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)\right)x^k{y}^{n-k}+x^n+y^n\\ =\sum _{k=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{n-k}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)x^n{y}^{n-n}+\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)x^0{y}^{n-0}\\ =\sum _{k=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{n-k}\end{array}$

   よって、 帰納法によりすべての自然数に対して成り立つ。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, binomial, summation

print('9.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        x, y = symbols('x, y')
        k = symbols('k', integer=True, nonnegative=True)
        for n in range(10):
            self.assertEqual(((x + y) ** n).expand(),
                             summation(binomial(n, k) * x ** k * y ** (n - k), (k, 0, n)))


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample9.py -v
9.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.093s

OK
%