数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - 帰納法 - 平方、立方の級数

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録2(帰納法)の練習問題2を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} k^{2} + n^{2} \\ = \frac{1}{6} (n - 1) n (2 (n - 1) + 1) \\ = \frac{n (n - 1) (2 n - 1) + 6 n^{2}}{6} \\ = \frac{1}{6} n (2 n^{2} - 3 n + 1 + 6 n) \\ = \frac{1}{6} n (2 n^{2} + 3 n + 1) \\ = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) \end{array}$
  よって帰納法によりすべての正の整数について問題の等式は成り立つ。
  （証明終）
2. $\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} k^{3} \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} k^{3} + n^{3} \\ = {(\frac{(n - 1) n}{2})}^{2} + n^{3} \\ = \frac{1}{2^{2}} n^{2} ({(n - 1)}^{2} + 4 n) \\ = {(\frac{n}{2})}^{2} (n^{2} + 2 n + 1) \\ = {(\frac{n}{2})}^{2} {(n + 1)}^{2} \\ = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} \end{array}$
  よって帰納法により成り立つ。
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import pprint, symbols, plot, summation print('2.') n, k = symbols('n, k', integer=True, positive=True) square = summation(k ** 2, (k, 1, n)) cube = summation(k ** 3, (k, 1, n)) class MyTestCase(TestCase): def test_a(self): self.assertEqual(square, (n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6).expand()) def test_b(self): self.assertEqual(cube, ((n * (n + 1) / 2) ** 2).expand()) p = plot(square, cube, (n, 1, 11), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample2.png') if __name__ == '__main__': main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

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2019年12月8日日曜日

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