数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - εとδ - 集積点 - 増加数列、減少数列、最小上界、最大上界、閉区間、極限、収束、一致

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録1(εとδ)、3(集積点)の練習問題1を求めてみる。

1. 
   
   ${\left(a_n\right)}_{n\in \text{ℕ}}$

   は増加数列で任意の自然数に対して

   $a_n\le b_1$

   を満たすから上に有界である。

   よって、 この数列の最小上界 c はこの数列の極限である。

   $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=d$

   同様に

   $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=e$

   また、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }L\left(I_n\right)=0$

   なので、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(b_n-a_n\right)=\left(e-d\right)=0$

   よって、

   $e=d$

   ゆえに、

   $c=d$

   とおけば、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\le c\le \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$

   なので C はすべての区間に共通な1点であり、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to 0}{\lim }{b}_n=c$

   が成り立つ。

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, oo

print('1.')

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
an = -1 / n
bn = 1 / n


class MyTestCase(TestCase):
    def test_compare(self):
        self.assertLessEqual(an, bn)

    def test_limit(self):
        self.assertEqual(Limit(an, n, oo).doit(), Limit(bn, n, oo).doit())


p = plot(an,
         bn,
         (n, 1, 11),
         ylim=(-5, 5),
         show=False,
         legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v
1.
test_compare (__main__.MyTestCase) ... ok
test_limit (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.198s

OK
%