数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - 帰納法 - 奇数、平方の級数

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録2(帰納法)の練習問題3を求めてみる。

$\begin{array}{l} \sum_{k = 1}^{n} {(2 k - 1)}^{2} \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} (2 k - 1) + {(2 n - 1)}^{2} \\ = \frac{1}{3} (4 {(n - 1)}^{3} - (n - 1)) + {(2 n - 1)}^{2} \\ = \frac{1}{3} (n - 1) (4 {(n - 1)}^{2} - 1) + {(2 n - 1)}^{2} \\ = \frac{1}{3} (n - 1) (4 n^{2} - 8 n + 3) + 4 n^{2} - 4 n + 1 \\ = \frac{1}{3} (4 n^{3} - 12 n^{2} + 11 n - 3 + 12 n^{2} - 12 n + 3) \\ = \frac{1}{3} (4 n^{3} - n) \end{array}$

よって、帰納法により、すべての正の整数 n に対して成り立つ。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, summation

print('3.')

n, k = symbols('n, k', integer=True, positive=True)
square = summation((2 * k - 1) ** 2, (k, 1, n))


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(square, ((4 * n ** 3 - n) / 3).expand())


p = plot(square,
         (n, 1, 11),
         show=False,
         legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v
3.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.001s

OK
%

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2019年12月9日月曜日

数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - 帰納法 - 奇数、平方の級数

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