2019年12月29日日曜日


新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.3(三角関数と三角形)、いくつかの興味のある問題の問47の解答を求めてみる。



    1. ∠ A O B = θ 0 < θ < π 2

      とおく。

      この とき、長方形の面積は、

      2 r cos θ r sin θ = r 2 2 sin θ cos θ = r 2 sin 2 θ

      また、

      0 < θ < π 2

      より、

      0 < 2 θ < π 0 < sin 2 θ ≤ 1 sin 2 θ = 1

      よって長方形の面積の最大値は、

      r 2

    2. 周の長さは、

      2 r sin θ + 2 r cos θ = 2 r sin θ + 2 cos θ = 2 5 r 1 5 sin θ + 2 5 cos θ cos a = 1 5 sin a = 2 5 0 < a < π 2 2 5 r 1 5 sin θ + 2 5 cos θ = 2 5 r sin θ + a

      また、

      0 < θ + a < π 0 < sin θ + a ≤ 1

      よって、 求める長方形の周の長さの最大値は、

      2 5 r

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, pi, plot, Derivative, solveset, Interval

print('47.')

r, x = symbols('r, x', real=True)
f = 2 * r * cos(x) * r * sin(x)
g = 2 * (r * sin(x) + 2 * r * cos(x))
fs = [f, g]
for i, o in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    d = Derivative(o, x, 1)
    d1 = d.doit()
    xs = solveset(d1, x, domain=Interval.open(0, pi / 2))
    for t in [d, d1, xs]:
        pprint(t)
        print()
    for x0 in xs:
        pprint(o.subs({x: x0}))
        print()

p = plot(*[h.subs({r: 1}) for h in fs],
         (x, 0, pi / 2),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color


p.show()
p.save(f'sample47.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample47.py 
47.
(1)
∂ ⎛   2              ⎞
──⎝2⋅r ⋅sin(x)⋅cos(x)⎠
∂x                    

     2    2         2    2   
- 2⋅r ⋅sin (x) + 2⋅r ⋅cos (x)

⎧π⎫
⎨─⎬
⎩4⎭

 2
r 

(2)
∂                          
──(2⋅r⋅sin(x) + 4⋅r⋅cos(x))
∂x                         

-4⋅r⋅sin(x) + 2⋅r⋅cos(x)

{atan(1/2)}

2⋅√5⋅r

%
時刻: 12:00 ラベル: , , ,

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