数学 - Python - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 三角関数と三角形 - 余弦定理 - 三角形の辺の長さと角、大きさ

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新装版数学読本2 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.3(三角関数と三角形)、余弦定理の問43の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} x > 1 \\ (x^{2} - 1) - (2 x + 1) \\ = x^{2} - 2 x - 2 \\ = {(x - 1)}^{2} + 1 \\ > 0 \\ (x^{2} + x + 1) - (x^{2} - 1) \\ = x + 2 \\ > 0 \end{array}$
よって、長さ
$x^{2} + x + 1$
が最大辺なので、この辺の対角が最大である。
その角の値を求める。
その角を A とおくと、余弦定理より、
$\begin{array}{l} {(x^{2} + x + 1)}^{2} = {(x^{2} - 1)}^{2} + {(2 x + 1)}^{2} - 2 (x^{2} - 1) (2 x + 1) \cos A \\ \cos A = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} + {(2 x + 1)}^{2} - {(x^{2} + x + 1)}^{2}}{2 (x^{2} - 1) (2 x + 1)} \\ = \frac{x^{4} - 2 x^{2} + 1 + 4 x^{2} + 4 x + 1 - (x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 x^{2} + 2 x + 1)}{2 (x^{2} - 1) (2 x + 1)} \\ = \frac{- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{2 (2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1)} \\ = - \frac{1}{2} \end{array}$
また、 A は三角形の角なのでその値は
$0 < A < π$
よって、
$A = \frac{2}{3} π$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, cos, solveset, pi, Interval, plot
print('43.')

x, A = symbols('x, A', real=True)
f = 2 * x + 1
g = x ** 2 - 1
h = x ** 2 + x + 1


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        s = solveset((f ** 2 + g ** 2 - h ** 2) / (2 * f * g) -
                     cos(A), A, domain=Interval.open(0, pi))
        self.assertEqual(len(s), 1)
        self.assertEqual(float(list(s)[0]), float(2 * pi / 3))


p = plot(f, g, h,
         (x, 1, 6),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color


p.show()
p.save(f'sample43.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample43.py -v
43.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.189s

OK
%

Kamimura's blog

2019年12月21日土曜日

数学 - Python - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 三角関数と三角形 - 余弦定理 - 三角形の辺の長さと角、大きさ

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