2019年12月4日水曜日


新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、三角関数の諸公式の問33の解答を求めてみる。



    1. y = 2 sin 2 x - 2 sin x - 1 = 2 sin x - 1 2 2 - 3 2 - 1 ≤ sin x ≤ 1

      よって、 問題の関数の最大値は

      2 - 1 - 1 2 2 - 3 2 = 2 · 9 4 - 3 2 = 9 2 - 3 2 = 3

      最小値は

      - 3 2

    2. y = sin x + π 4 + cos x - π 4 = sin x + π 4 + sin x - π 4 + π 2 = sin x + π 4 + sin x + π 4 = 2 sin x + π 4 - 1 ≤ sin 1 + π 4 ≤ 1

      よって、最大値、最小値はそれぞれ

      2 , - 2

    3. y = sin 2 x + 3 sin x cos x = 1 - cos 2 x 2 + 3 2 sin 2 x = - 1 2 cos 2 x + 3 2 sin 2 x + 1 2 = sin 2 x - π 6 + 1 2 - 1 ≤ sin 2 x - π 6 ≤ 1

      よって 最大値、最小値はそれぞれ

      3 2 , - 1 2

    4. y = 1 + 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 1 + 2 sin 2 x + 2 cos 2 x + 1 = 2 sin 2 x + cos 2 x + 3 = 2 2 1 2 sin 2 x + 1 2 cos 2 x + 3 = 2 2 sin 2 x + π 4 + 3 - 1 ≤ sin 2 x + π 4 ≤ 1

      よって最大値、最小値はそれぞれ

      2 2 + 3 - 2 2 + 3

    5. y = sin 4 x + cos 4 x = sin 2 x + cos 2 x 2 - 2 sin 2 x cos 2 x = 1 - 2 1 2 sin 2 x 2 = 1 - 1 2 sin 2 2 x - 1 ≤ sin 2 x ≤ 1

      よって最大値、最小値はそれぞれ

      1 1 2

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, sqrt, plot, pi, Rational

print('33.')

x = symbols('x')
fs = [2 * sin(x) ** 2 - 2 * sin(x) - 1,
      sin(x + pi / 4) + cos(x - pi / 4),
      sin(x) ** 2 + sqrt(3) * sin(x) * cos(x),
      1 + 4 * sin(x) * cos(x) + 4 * cos(x) ** 2,
      sin(x) ** 4 + cos(x) ** 4]
ys = [3, -Rational(3, 2),
      2, -2,
      Rational(3, 2), -Rational(1, 2),
      2 * sqrt(2) + 3, -2 * sqrt(2) + 3,
      1, Rational(1, 2)]

p = plot(*fs, *ys,
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for i, o in enumerate(zip(fs[:5], colors), 1):
    print(f'({i})')
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save(f'sample33.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample33.py
33.
(1)
⎛     2                       ⎞
⎝2⋅sin (x) - 2⋅sin(x) - 1, red⎠

(2)
⎛     ⎛    π⎞       ⎞
⎜2⋅sin⎜x + ─⎟, green⎟
⎝     ⎝    4⎠       ⎠

(3)
⎛   2                            ⎞
⎝sin (x) + √3⋅sin(x)⋅cos(x), blue⎠

(4)
⎛                       2              ⎞
⎝4⋅sin(x)⋅cos(x) + 4⋅cos (x) + 1, brown⎠

(5)
⎛   4         4           ⎞
⎝sin (x) + cos (x), orange⎠

%
時刻: 12:00 ラベル: , , ,

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