数学 - Python - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル - 複素数 - 積の共役と共役の積、和の共役と共役の和

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、6(複素数)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   問題の2つの複素数を

   $\begin{array}{l}\alpha =a+bi\\ \beta =c+di\\ a,b,c,d\in \text{ℝ}\end{array}$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{l}\alpha \beta \\ =\left(a+bi\right)\left(c+di\right)\\ =\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i\\ \stackrel{-}{\alpha \beta }=\left(ac-bd\right)-\left(ad+bc\right)i\\ \stackrel{-}{\alpha }\stackrel{-}{\beta }\\ =\left(a-bi\right)\left(c-di\right)\\ =\left(ac-bd\right)-\left(ad+bc\right)i\\ \alpha +\beta \\ =\left(a+bi\right)+\left(c+d\right)i\\ =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i\\ \stackrel{-}{\alpha +\beta }=\left(a+c\right)-\left(b+d\right)i\\ \stackrel{-}{\alpha }+\stackrel{-}{\beta }\\ =a-bi+c-di\\ =\left(a+c\right)-\left(b+d\right)i\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\stackrel{-}{\alpha \beta }=\stackrel{-}{\alpha }\stackrel{-}{\beta }\\ \stackrel{-}{\alpha +\beta }=\stackrel{-}{\alpha }+\stackrel{-}{\beta }\end{array}$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols

print('4.')

alpha, beta = symbols('α, β', imag=True)


class MyTestCase(TestCase):
    def test_add(self):
        self.assertEqual((alpha * beta).conjugate(),
                         alpha.conjugate() * beta.conjugate())

    def test_mul(self):
        self.assertEqual((alpha + beta).conjugate(),
                         alpha.conjugate() + beta.conjugate())


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py -v
4.
test_add (__main__.MyTestCase) ... ok
test_mul (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.001s

OK
%