数学 - 解析学 - 積分の計算 - 定積分の計算 - 連続関数、テイラーの定理、積分の形の剰余項、帰納法と部分積分法

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.2(定積分の計算)、問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(b\right)=f\left(a\right)+R_1\\ R_1=f\left(b\right)-f\left(a\right)\\ \frac{1}{\left(1-1\right)!}{\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)\mathrm{dx}\\ ={\left[f\left(x\right)\right]}_n^b\\ =f\left(b\right)-f\left(a\right)\end{array}$

    よって、

    $R_1=\frac{1}{\left(1-1\right)!}{\int }_a^b{\left(b-x\right)}^{1-1}{f}^{\left(1\right)}\left(x\right)\mathrm{dx}$

    また、

    $\begin{array}{l}{R}_n\\ =f\left(b\right)-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{{\left(b-a\right)}^k}{k!}{f}^{\left(k\right)}\left(a\right)\\ =\sum _{k=0}^{n-2}\frac{{\left(b-a\right)}^k}{k!}{f}^{\left(k\right)}\left(a\right)+R_{n-1}-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{{\left(b-a\right)}^k}{k!}{f}^{\left(k\right)}\left(a\right)\\ =R_{n-1}-\frac{{\left(b-a\right)}^{n-1}}{\left(n-1\right)!}{f}^{\left(n-1\right)}\left(a\right)\\ =\frac{1}{\left(n-2\right)!}{\int }_a^b{\left(b-x\right)}^{n-2}{f}^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\mathrm{dx}-\frac{{\left(b-a\right)}^{n-1}}{\left(n-1\right)!}{f}^{\left(n-1\right)}\left(a\right)\\ =\frac{1}{\left(n-1\right)!}\left(-{\left(b-a\right)}^{n-1}{f}^{\left(n-1\right)}\left(a\right)+\left(n-1\right){\int }_a^b{\left(b-x\right)}^{n-2}{f}^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\mathrm{dx}\right)\\ =\frac{1}{\left(n-1\right)!}\left({\left[{\left(b-x\right)}^{n-1}{f}^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\right]}_a^b+\left(n-1\right){\int }_a^b{\left(b-x\right)}^{n-2}{f}^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\mathrm{dx}\right)\\ =\frac{1}{\left(n-1\right)!}{\int }_a^b{\left(b-x\right)}^{n-1}{f}^{\left(n\right)}\left(x\right)\mathrm{dx}\end{array}$

    よって、 帰納法により すべての 正の整数に対して成り立つ。

    （証明終）