2020年1月22日水曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.2(定積分の計算)、問題11の解答を求めてみる。


  1. f b = f a + R 1 R 1 = f b - f a 1 1 - 1 ! a b f ' x dx = f x n b = f b - f a

    よって、

    R 1 = 1 1 - 1 ! a b b - x 1 - 1 f 1 x dx

    また、

    R n = f b - k = 0 n - 1 b - a k k ! f k a = k = 0 n - 2 b - a k k ! f k a + R n - 1 - k = 0 n - 1 b - a k k ! f k a = R n - 1 - b - a n - 1 n - 1 ! f n - 1 a = 1 n - 2 ! a b b - x n - 2 f n - 1 x dx - b - a n - 1 n - 1 ! f n - 1 a = 1 n - 1 ! - b - a n - 1 f n - 1 a + n - 1 a b b - x n - 2 f n - 1 x dx = 1 n - 1 ! b - x n - 1 f n - 1 x a b + n - 1 a b b - x n - 2 f n - 1 x dx = 1 n - 1 ! a b b - x n - 1 f n x dx

    よって、 帰納法により すべての 正の整数に対して成り立つ。

    (証明終)

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