数学 - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 三角関数と三角形 - いくつかの興味のある問題 - チェヴァの定理、チェヴァの定理の逆

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.3(三角関数と三角形)、いくつかの興味のある問題の問48の解答を求めてみる。

48. 
    

    3点 P、 Q、 R が すべて三角形 ABC 上の辺 BC、 CA、 AB 上にある場合。

    直線 AP、 BQ の交点を O とおく。

    また、直線 AO と 辺 BC との交点を S とおく。

    このとき、 チェヴァ の定理より、

    $\frac{BS}{SC}·\frac{CQ}{QA}·\frac{AR}{RB}=1$

    また、問題の仮定より

    $\frac{BP}{PC}·\frac{CQ}{QA}·\frac{AR}{RB}=1$

    なので、

    $\frac{BS}{SC}=\frac{BP}{PC}$

    が成り立つ。
    よって、

    $S=P$

    である。

    ゆえに、直線 AS も点 O を通る。

    以上より、 3直線 AP、 BQ、 CR は同一点 O で交わる。

    （証明終）