数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 - 基底 - 三角関数(正弦)、倍角、一次独立

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{l}x\in \text{ℝ}\\ x\sin t=0\end{array}$

    ならば、

    $\sin t\ne 0$

    なので、

    $x=0$

    である。

    $\begin{array}{l}{x}_1,\dots ,x_n\in \text{ℝ}\\ \sum _{k=1}^n{x}_k\sin kt=0\end{array}$

    のとき、

    $\begin{array}{l}\sin nt\\ =\sin \left(\left(n-1\right)+1\right)t\\ =\sin \left(n-1\right)t\cos t+\cos \left(n-1\right)t\sin t\\ \sum _{k=1}^n{x}_k\sin kt=0\\ \sum _{k=1}^{n-1}{x}_k\sin kt+x_n\left(\cos t\sin \left(n-1\right)t+\cos \left(n-1\right)\sin t\right)=0\\ \left(x_1+x_n\cos \left(n-1\right)t\right)\sin t+\sum _{k=2}^{n-2}{x}_k\sin kt+\left(x_{n-1}+x_n\cos t\right)\sin \left(n-1\right)t=0\\ \{\begin{array}{l}{x}_1+x_n\cos \left(n-1\right)t=0\\ x_{n-1}+x_n\cos t=0\end{array}\end{array}$

    これがすべての実数 t に対して成り立つので

    $\begin{array}{l}{x}_1+x_n\cos \left(n-1\right)\frac{\pi }{2}=0\\ x_{n-1}+x_n\cos \frac{\pi }{2}=0\\ x_1=0\\ x_{n-1}=0\\ x_n\cos \left(n-1\right)t=0\\ x_n=0\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}{x}_i=0\\ \left(i=1,\dots ,n\right)\end{array}$

    ゆえに、帰納法によりすべての1以上の整数に対に成り立つ。

    以上より、 1次独立である。

    （証明終）