数学 - Python - 代数学 - 因数分解と分数式 - 帰納法、剰余

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(因数分解と分数式)、練習問題の問9の解答を求めてみる。

1. $1^{3} - 1 = 0$
  また、
  $\begin{array}{l} n^{3} - n \\ = {(n - 1 + 1)}^{3} - (n - 1 + 1) \\ = {(n - 1)}^{3} + 3 {(n - 1)}^{2} + 3 (n - 1) + 1 - (n - 1) - 1 \\ = {(n - 1)}^{3} - (n - 1) + 3 (n - 1) + 3 (n - 1) \\ = {(n - 1)}^{3} - (n - 1) + 6 (n - 1) \end{array}$
  よって、帰納法により、すべての正の整数 n に対して
  $n^{3} - n$
  は6で割り切れる。
  （証明終）
2. n が奇数なので、
  $\begin{array}{l} n = 2 k + 1 \\ k \in ℕ \end{array}$
  とおく。
  $\begin{array}{l} n^{3} - n \\ = {(2 k + 1)}^{3} - (2 k + 1) \\ = {(2 k - 1 + 2)}^{3} - (2 k - 1 + 2) \\ = {(2 k - 1)}^{3} + 3 \cdot {(2 k - 1)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 k - 1) \cdot 4 + 8 - (2 k - 1) - 2 \\ = {(2 k - 1)}^{3} - (2 k - 1) + 6 ({(2 k - 1)}^{2} + 2 (2 k - 1) + 1) \\ = {(2 k - 1)}^{3} - (2 k - 1) + 6 ((2 k - 1) (2 k - 1 + 2) + 1) \\ = {(2 k - 1)}^{3} - (2 k - 1) + 6 ((2 k - 1) (2 k + 1) + 1) \\ = {(2 k - 1)}^{3} - (2 k - 1) + 6 \cdot 4 k^{2} \\ = {(2 k - 1)}^{3} - (2 k - 1) + 24 k^{2} \end{array}$
  よって、帰糸内法になり、すべての正の長を久 n に対して、
  $n^{3} - n$
  は24で割り切れる。
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, pprint, solve print('8.') n = symbols('n', integer=True, positive=True) m = 2 * n - 1 for o in [(n ** 3 - n) % 6, (m ** 3 - m) % 24]: pprint(o) print() class MyTestCase(TestCase): def test1(self): for n in range(1, 101): self.assertEqual((n ** 3 - n) % 6, 0) def test2(self): for n in range(1, 202, 2): self.assertEqual((n ** 3 - n) % 24, 0) if __name__ == "__main__": main()

% ./sample9.py -v 8. ⎛ 3 ⎞ ⎝n - n⎠ mod 6 ⎛⎛ 3 ⎞ ⎞ ⎜⎜ n (2⋅n - 1) 1⎟ ⎟ 4⋅⎜⎜- ─ + ────────── + ─⎟ mod 6⎟ ⎝⎝ 2 4 4⎠ ⎠ test1 (__main__.MyTestCase) ... ok test2 (__main__.MyTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 2 tests in 0.000s OK %

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2020年1月27日月曜日

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