数学 - Python - 解析学 - 積分の計算 - 定積分の計算 - 3次以下の整式の定積分

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.2(定積分の計算)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   3次以下の整式 f を

   $f\left(x\right)=\sum _{k=0}^3{c}_k{x}^k$

   とおく。

   $\begin{array}{l}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{dx}\\ ={\int }_a^b\sum _{k=0}^3{c}_k{x}^k\mathrm{dx}\\ =\sum _{k=0}^3{\left[\frac{c_k}{k+1}{x}^{k+1}\right]}_a^b\\ =\sum _{k=0}^3\frac{c_k}{k+1}\left(b^{k+1}-a^{k+1}\right)\\ =c_0\left(b-a\right)+\frac{c_1}{2}\left(b^2-a^2\right)+\frac{c_2}{3}\left(b^3-a^3\right)+\frac{c_3}{4}\left(b^4-a^4\right)\\ =\left(b-a\right)\left(c_0+\frac{c_1}{2}\left(b+a\right)+\frac{c_2}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)+\frac{c_3}{4}\left(b^2+a^2\right)\left(b+a\right)\right)\\ =\frac{b-a}{6}\left(6c_0+3c_1\left(b+a\right)+2c_2\left(a^2+ab+b^2\right)+\frac{3c_3}{2}\left(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3\right)\right)\\ f\left(a\right)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\\ =c_0+c_{1}a+c_2{a}^2+c_3{a}^3\\ +4\left(c_0+c_1·\frac{a+b}{2}+c_2·{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2+c_3{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^3\right)\\ +c_0+c_{1}b+c_2{b}^2+c_3{b}^3\\ =6c_0+c_1\left(a+2\left(a+b\right)+b\right)+c_2\left(a^2+{\left(a+b\right)}^2+b^2\right)+c_3\left(a^3+\frac{{\left(a+b\right)}^3}{2}+b^3\right)\\ =6c_0+3c_1\left(a+b\right)+2c_2\left(a^2+ab+b^2\right)\\ +\frac{1}{2}{c}_3\left(2a^3+a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3+2b^3\right)\\ =6c_6+3c_1\left(a+b\right)+2c_2\left(a^2+ab+b^2\right)+\frac{3}{2}{c}_3\left(a^3+a^{2}b+a{b}^2+b^3\right)\end{array}$

   よって、

   ${\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{b-a}{6}\left(f\left(a\right)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right)$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Integral

print('4.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        x, a, b = symbols('x, a, b')
        f = sum([symbols(f'c{i}') * x ** i for i in range(4)])
        self.assertEqual(Integral(f, (x, a, b)).doit().expand(),
                         ((b - a) / 6 * (f.subs({x: a}) + 4 * f.subs({x: (a + b) / 2}) + f.subs({x: b}))).expand())


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py -v 
4.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.091s

OK
%