2020年1月18日土曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.2(定積分の計算)、問題8の解答を求めてみる。



    1. x=kπ+tk

      とおく。

      dxdt=1kk+1πe-xsinxdx=e-kπkk+1πe-tsinkπ+tdt=e-kπ0πe-tsintdte-tsintdt=-e-tsint+e-tcostdt=-e-tsint+-e-tcost-e-tsintdt=-e-tsint-e-tcost-e-tsintdte-tsintdt=-e-t2sint+costkk+1πe-kπ-tsinxdx=e-kπ-12e-tsint+cost0π=-12e-kπe-π-1-1=12e-kπe-π+1

      よって、

      0nπe-xsinxdx=12e-π+1k=0n-1e-kπ=12e-π+11-e-n-1π1-e-π0e-xsinxdx=limn0nπe-xsinxdx=12·e-π+11-e-π=12·eπ+1eπ-1

      (証明終)


    2. 0<a<1

      とする。

      logsinθ=logθ·sinθθ=logθ+logsinθθθalogsinθ=θalogθ+θalogsinθθlimθ+0θalogθ+θalogsinθθ=0

      よって、 積分

      0π2logsinθdθ

      は収束する。

      0π2logsinθdθ=0π2logcosθdθ=π2πlogsinθdθ0π2logsinθdθ=12·20π2logsinθdθ=120π2logsinθdθ+π2πlogsiqθdθ=120πlogsinθdθ

      ここで、

      θ=2t

      とおくと、

      dθdt=20π2logsinθdt=120πlogsinθdθ=0π2logsin2tdt=0π2log2sintcostdt=0π2log2+logsint+logcostdt=π2log2+20π2logsintdt

      よって、

      0π2logsinxdx=-π2log2

      である。

      (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, log, exp, sin, pi, oo, plot, Limit

print('8.')

x = symbols('x', real=True)
f = exp(-x) * abs(sin(x))
g = log(sin(x))
xs = [(0, oo),
      (0, pi / 2)]

for h, (x1, x2) in zip([f, g], xs):
    I = Integral(h, (x, x1, x2))
    for o in [I, I.doit()]:
        pprint(o)
        print()


p = plot(f, g,
         (x, 0.1, 10),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample8.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample8.py
8.
∞                
⌠                
⎮  -x            
⎮ ℯ  ⋅│sin(x)│ dx
⌡                
0                

∞                
⌠                
⎮  -x            
⎮ ℯ  ⋅│sin(x)│ dx
⌡                
0                

π               
─               
2               
⌠               
⎮ log(sin(x)) dx
⌡               
0               

π               
─               
2               
⌠               
⎮ log(sin(x)) dx
⌡               
0               

%

SymPyでは定積分を求められなかった。SymPyには苦手な積分がまだあるみたい。

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