数学 - Python - 解析学 - 積分の計算 - 定積分の計算 - 三角関数(正弦と余弦)、周期性、加法定理、倍角、置換積分法、指数関数、対数関数

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.2(定積分の計算)、問題8の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} x = k π + t \\ k \in ℤ \end{array}$
  
  とおく。
  
  $\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = 1 \\ \int_{k}^{(k + 1) π} e^{- x} |\sin x| dx \\ = e^{- k π} \int_{k}^{(k + 1) π} e^{- t} |\sin (k π + t)| dt \\ = e^{- k π} \int_{0}^{π} e^{- t} \sin t dt \\ \int e^{- t} \sin t dt \\ = - e^{- t} \sin t + \int e^{- t} \cos t dt \\ = - e^{- t} \sin t + (- e^{- t} \cos t - \int e^{- t} \sin t dt) \\ = - e^{- t} \sin t - e^{- t} \cos t - \int e^{- t} \sin t dt \\ \int e^{- t} \sin t dt = - \frac{e^{- t}}{2} (\sin t + \cos t) \\ \int_{k}^{(k + 1) π} e^{- k π - t} |\sin x| dx \\ = e^{- k π} {[- \frac{1}{2} e^{- t} (\sin t + \cos t)]}_{0}^{π} \\ = - \frac{1}{2} e^{- k π} (e^{- π} (- 1) - 1) \\ = \frac{1}{2} e^{- k π} (e^{- π} + 1) \end{array}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} \int_{0}^{n π} e^{- x} |\sin x| d x \\ = \frac{1}{2} (e^{- π} + 1) \sum_{k = 0}^{n - 1} e^{- k π} \\ = \frac{1}{2} (e^{- π} + 1) \frac{1 - e^{- (n - 1) π}}{1 - e^{- π}} \\ \int_{0}^{\infty} e^{- x} (\sin x) dx \\ = \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n π} e^{- x} |\sin x| dx \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{- π} + 1}{1 - e^{- π}} \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{π} + 1}{e^{π} - 1} \end{array}$
  
  （証明終）
2. $0 < a < 1$
  
  とする。
  
  $\begin{array}{l} \log \sin θ \\ = \log θ \cdot \frac{\sin θ}{θ} \\ = \log θ + \log \frac{\sin θ}{θ} \\ θ^{a} \log \sin θ \\ = θ^{a} \log θ + θ^{a} \log \frac{\sin θ}{θ} \\ \lim_{θ \to + 0} (θ^{a} \log θ + θ^{a} \log \frac{\sin θ}{θ}) = 0 \end{array}$
  
  よって、積分
  
  $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ$
  
  は収束する。
  
  $\begin{array}{l} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \cos θ d θ \\ = \int_{\frac{π}{2}}^{π} \log \sin θ d θ \\ \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ \\ = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ \\ = \frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ d θ + \int_{\frac{π}{2}}^{π} \log s i q θ d θ) \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \log \sin θ d θ \end{array}$
  
  ここで、
  
  $θ = 2 t$
  
  とおくと、
  
  $\begin{array}{l} \frac{d θ}{dt} = 2 \\ \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin θ dt \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \log \sin θ d θ \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin 2 t dt \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log (2 \sin t \cos t) dt \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\log 2 + \log \sin t + \log \cos t) dt \\ = \frac{π}{2} \log 2 + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin t dt \end{array}$
  
  よって、
  
  $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin x dx = - \frac{π}{2} \log 2$
  
  である。
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Integral, log, exp, sin, pi, oo, plot, Limit print('8.') x = symbols('x', real=True) f = exp(-x) * abs(sin(x)) g = log(sin(x)) xs = [(0, oo), (0, pi / 2)] for h, (x1, x2) in zip([f, g], xs): I = Integral(h, (x, x1, x2)) for o in [I, I.doit()]: pprint(o) print() p = plot(f, g, (x, 0.1, 10), ylim=(-5, 5), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample8.png')

% ./sample8.py 8. ∞ ⌠ ⎮ -x ⎮ ℯ ⋅│sin(x)│ dx ⌡ 0 ∞ ⌠ ⎮ -x ⎮ ℯ ⋅│sin(x)│ dx ⌡ 0 π ─ 2 ⌠ ⎮ log(sin(x)) dx ⌡ 0 π ─ 2 ⌠ ⎮ log(sin(x)) dx ⌡ 0 %

SymPyでは定積分を求められなかった。SymPyには苦手な積分がまだあるみたい。

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2020年1月18日土曜日

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