2020年1月18日土曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.2(定積分の計算)、問題8の解答を求めてみる。



    1. x = k π + t k

      とおく。

      dx dt = 1 k k + 1 π e - x sin x dx = e - k π k k + 1 π e - t sin k π + t dt = e - k π 0 π e - t sin t dt e - t sin t dt = - e - t sin t + e - t cos t dt = - e - t sin t + - e - t cos t - e - t sin t dt = - e - t sin t - e - t cos t - e - t sin t dt e - t sin t dt = - e - t 2 sin t + cos t k k + 1 π e - k π - t sin x dx = e - k π - 1 2 e - t sin t + cos t 0 π = - 1 2 e - k π e - π - 1 - 1 = 1 2 e - k π e - π + 1

      よって、

      0 n π e - x sin x d x = 1 2 e - π + 1 k = 0 n - 1 e - k π = 1 2 e - π + 1 1 - e - n - 1 π 1 - e - π 0 e - x sin x dx = lim n 0 n π e - x sin x dx = 1 2 · e - π + 1 1 - e - π = 1 2 · e π + 1 e π - 1

      (証明終)


    2. 0 < a < 1

      とする。

      log sin θ = log θ · sin θ θ = log θ + log sin θ θ θ a log sin θ = θ a log θ + θ a log sin θ θ lim θ + 0 θ a log θ + θ a log sin θ θ = 0

      よって、 積分

      0 π 2 log sin θ d θ

      は収束する。

      0 π 2 log sin θ d θ = 0 π 2 log cos θ d θ = π 2 π log sin θ d θ 0 π 2 log sin θ d θ = 1 2 · 2 0 π 2 log sin θ d θ = 1 2 0 π 2 log sin θ d θ + π 2 π log s i q θ d θ = 1 2 0 π log sin θ d θ

      ここで、

      θ = 2 t

      とおくと、

      d θ dt = 2 0 π 2 log sin θ dt = 1 2 0 π log sin θ d θ = 0 π 2 log sin 2 t dt = 0 π 2 log 2 sin t cos t dt = 0 π 2 log 2 + log sin t + log cos t dt = π 2 log 2 + 2 0 π 2 log sin t dt

      よって、

      0 π 2 log sin x dx = - π 2 log 2

      である。

      (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, log, exp, sin, pi, oo, plot, Limit

print('8.')

x = symbols('x', real=True)
f = exp(-x) * abs(sin(x))
g = log(sin(x))
xs = [(0, oo),
      (0, pi / 2)]

for h, (x1, x2) in zip([f, g], xs):
    I = Integral(h, (x, x1, x2))
    for o in [I, I.doit()]:
        pprint(o)
        print()


p = plot(f, g,
         (x, 0.1, 10),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample8.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample8.py
8.
∞                
⌠                
⎮  -x            
⎮ ℯ  ⋅│sin(x)│ dx
⌡                
0                

∞                
⌠                
⎮  -x            
⎮ ℯ  ⋅│sin(x)│ dx
⌡                
0                

π               
─               
2               
⌠               
⎮ log(sin(x)) dx
⌡               
0               

π               
─               
2               
⌠               
⎮ log(sin(x)) dx
⌡               
0               

%

SymPyでは定積分を求められなかった。SymPyには苦手な積分がまだあるみたい。

0 コメント:

コメントを投稿