数学 - Python - 解析学 - 積分の計算 - 不定積分の計算 - 指数関数、三角関数(正弦と余弦と正接)、対数関数、置換積分法、部分積分法

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.1(不定積分の計算)、問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\int e^{-x}{\cos }^{2}x\mathrm{dx}\\ =\int e^{-x}·\frac{\cos 2x+1}{2}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\int e^{-x}\cos 2x\mathrm{dx}+\frac{1}{2}\int e^{-x}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}\int e^{-x}\cos 2x\mathrm{dx}-\frac{1}{2}{e}^{-x}\\ \int e^{-x}\cos 2x\mathrm{dx}\\ =-e^{-x}\cos 2x-2\int e^{-x}\sin 2x\mathrm{dx}\\ \int e^{-x}\sin 2x\mathrm{dx}\\ =-e^{-x}\sin 2x+2\int e^{-x}\cos 2x\mathrm{dx}\\ \int e^{-x}\cos 2x\mathrm{dx}\\ =-e^{-x}\cos 2x+2e^{-x}\sin 2x-4\int e^{-x}\cos 2x\mathrm{dx}\\ \int e^{-x}\cos 2x\mathrm{dx}=-\frac{1}{5}{e}^{-x}\cos 2x+\frac{2}{5}{e}^{-x}\sin 2x\\ \int e^{-x}{\cos }^{2}x\mathrm{dx}\\ =-\frac{1}{10}{e}^{-x}\cos 2x+\frac{1}{5}{e}^{-x}\sin 2x-\frac{1}{2}{e}^{-x}\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}x=\tan t\\ \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{{\cos }^{2}t}\\ \int \frac{1}{{\left(x^2+1\right)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{dx}\\ =\int \frac{1}{{\left({\tan }^{2}t+1\right)}^{\frac{3}{2}}}·\frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{dt}\\ =\int \frac{1}{{\left(\frac{{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}·\frac{1}{{\cos }^{2}t}\mathrm{dt}\\ =\int \frac{{\cos }^{3}t}{{\cos }^{2}t}\mathrm{dt}\\ =\int \cos t\mathrm{dt}\\ =\sin t\\ =\sin \left(\arctan x\right)\end{array}$
   3. 
      
      $\alpha \ne -1$

      の場合。

      $\begin{array}{l}\int \frac{{\left(\log x\right)}^{\alpha }}{x}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{\alpha +1}·{\left(\log x\right)}^{\alpha +1}\end{array}$

      である。

      $\alpha =-1$

      の場合。

      $\begin{array}{l}\int \frac{{\left(\log x\right)}^{-1}}{x}\mathrm{dx}\\ =\int \frac{1}{x\log x}\mathrm{dx}\\ =\log \left|\log x\right|\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\sqrt{e^x-1}=t\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}}\\ \int \sqrt{e^x-1}\mathrm{dx}\\ =\int \sqrt{e^x-1}·\frac{2\sqrt{e^x-1}}{e^x}\mathrm{dt}\\ =\int \frac{2e^x-2}{e^x}\mathrm{dt}\\ =2\left(\int \mathrm{dt}-\int \frac{1}{e^x}\mathrm{dt}\right)\\ =2\left(t-\int \frac{1}{1+t^2}\mathrm{dt}\right)\\ =2\left(\sqrt{e^x-1}-\arctan t\right)\\ =2\left(\sqrt{e^x-1}-\arctan \sqrt{e^x-1}\right)\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{l}\log x=t\\ \frac{1}{x}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}\\ \int \sin \left(\log x\right)\mathrm{dx}\\ =\int \left(\sin t\right)x\mathrm{dt}\\ =\int e^t\sin t\mathrm{dt}\\ \int e^t\sin t\mathrm{dt}\\ =e^t\sin t-\int e^t\cos t\mathrm{dt}\\ =e^t\sin t-\left(e^t\cos t+\int e^t\sin t\mathrm{dt}\right)\\ =e^t\sin t-e^t\cos t-\int e^t\sin t\mathrm{dt}\\ \int e^t\sin t\mathrm{dt}=\frac{e^t}{2}\left(\sin t-\cos t\right)\\ \int \sin \left(\log x\right)\mathrm{dx}\\ =\frac{e^t}{2}\left(\sin t-\cos t\right)\\ =\frac{x}{2}\left(\sin \left(\log x\right)-\cos \left(\log x\right)\right)\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{l}\int \frac{1}{a+b\tan x}\mathrm{dx}\\ =\int \frac{\cos x}{a\left(\cos x\right)+b\sin x}\mathrm{dx}\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(a\left(\cos x\right)+b\sin x\right)\\ =-a\left(\sin x\right)+b\cos x\\ \cos x=A\left(a\left(\cos x\right)+b\sin x\right)+B\left(-a\left(\sin x\right)+b\cos x\right)\\ \{\begin{array}{l}aA+bB=1\\ bA-aB=0\end{array}\\ a^{2}A+abB=a\\ b^{2}A-abB=0\\ A=\frac{a}{a^2+b^2}\\ B=\frac{b}{a}A\\ =\frac{b}{a^2+b^2}\\ \int \frac{\mathrm{dx}}{a+b\tan x}\\ =\frac{a}{a^2+b^2}x+\frac{b}{a^2+b^2}\log \left|a\left(\cos x\right)+b\sin x\right|\end{array}$