数学 - Python - 解析学 - 積分の計算 - 定積分の計算 - 三角関数(正弦)、累乗、無限区間、収束、絶対収束、コーシーの条件

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.2(定積分の計算)、問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   $0<\alpha \le 1$

   の場合、 x が0のとき特異点ではないので、

   $\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\sin x}{x^{\alpha }}$

   は収束し、 極限をもつ。

   また、

   $0<p<q$

   のとき、 部分積分法により、

   $\begin{array}{l}{\int }_p^q\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}\\ ={\left[-\frac{\cos x}{x^{\alpha }}\right]}_q^p-{\int }_p^q\frac{\left(\alpha -1\right)x^{\alpha -1}\cos x}{x^{2\alpha }}\mathrm{dx}\\ =-\frac{\cos p}{p^{\alpha }}+\frac{\cos q}{q^{\alpha }}-\left(\alpha -1\right){\int }_p^q\frac{\cos x}{x^{\alpha +1}}\mathrm{dx}\end{array}$

   であり、

   $\left|\cos x\right|\le 1$

   であるから

   $\begin{array}{l}\left|{\int }_p^q\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}\right|\\ \le \frac{1}{p^{\alpha }}+\frac{1}{q^{\alpha }}+{\int }_p^q\frac{1}{x^{\alpha +1}}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{p^{\alpha }}+\frac{1}{q^{\alpha }}-\frac{1}{\alpha }{\left[x^{-\alpha }\right]}_p^q\\ =\frac{1}{p^{\alpha }}+\frac{1}{q^{\alpha }}-\frac{1}{\alpha }\left(\frac{1}{q^{\alpha }}-\frac{1}{p^{\alpha }}\right)\\ =\frac{1}{p^{\alpha }}+\frac{1}{q^{\alpha }}-\frac{1}{\alpha }·\frac{1}{q^{\alpha }}+\frac{1}{\alpha }·\frac{1}{p^{\alpha }}\\ \le \frac{1}{\alpha p^{\alpha }}+\frac{1}{q^{\alpha }}-\frac{1}{q^{\alpha }}+\frac{1}{\alpha }\frac{1}{p^{\alpha }}\\ =\frac{2}{\alpha p^{\alpha }}\end{array}$

   よって 任意の正の実数

   $\epsilon >0$

   に対し、

   $\epsilon <\frac{2}{\alpha p^{\alpha }}$

   を満たすように p をとれば、

   $\left|{\int }_p^q\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}\right|<\epsilon$

   よって、 積分

   ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$

   は収束する。

   また、

   $1<\alpha <2$

   の場合、

   $\begin{array}{l}0<\alpha -1<1\\ \underset{x\to 0+}{\lim }{x}^{\alpha -1}\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\\ =\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\sin x}{x}\\ =1\end{array}$

   より、 x が0のとき、積分は絶対収束する。

   無限区間のとき、

   $0<\alpha \le 1$

   のときと同様に積分は収束する。

   よって、

   $0<\alpha <2$

   ならば、 積分

   ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$

   は収束する。

   また、

   $1<\alpha <2$

   の場合、

   $\begin{array}{l}{\int }_1^{\infty }\left|\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\right|\mathrm{dx}\\ \le {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}\end{array}$

   となり、

   ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$

   は収束するので、 上記のことと合わせて、

   ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$

   は絶対収束である。

   また、

   $0<\alpha \le 1$

   の場合、

   $\begin{array}{l}{\int }_1^{\infty }\left|\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\right|\mathrm{dx}\\ \ge {\int }_1^{\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|\mathrm{dx}\\ \ge {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}\mathrm{dx}\end{array}$

   となり、

   ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}\mathrm{dx}$

   は発散するから、

   ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\mathrm{dx}$

   は絶対収束ではない。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, sin, oo, plot, Rational

print('9.')

x, a = symbols('x, a', real=True)
f = sin(x)
g = x ** a
h = f / g
I = Integral(h, (x, 0, oo))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

for a0 in [Rational(1, 2), 1, Rational(3, 2)]:
    Ia = I.subs({a: a0})
    for o in [Ia, Ia.doit()]:
        pprint(o)
        print()

Iabs = Integral(abs(h), (x, 0, oo))

for o in [Iabs, Iabs.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, *[t.subs({a: a0})
              for t in [g, h, abs(h)]
              for a0 in [Rational(1, 2), 1, Rational(3, 2)]],
         (x, 0.1, 10),
         ylim=(-5, 5),
         legend=False,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for o in zip(p, colors):
    pprint(o)

p.show()
p.save('sample9.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample9.py
9.
∞              
⌠              
⎮  -a          
⎮ x  ⋅sin(x) dx
⌡              
0              

⎧     a   1                               
⎪   - ─ - ─                               
⎪     2   2     ⎛    a⎞                   
⎪2⋅4       ⋅√π⋅Γ⎜1 - ─⎟                   
⎪               ⎝    2⎠                   
⎪──────────────────────  for a > 0 ∧ a < 2
⎪        ⎛a   1⎞                          
⎪       Γ⎜─ + ─⎟                          
⎨        ⎝2   2⎠                          
⎪                                         
⎪   ∞                                     
⎪   ⌠                                     
⎪   ⎮  -a                                 
⎪   ⎮ x  ⋅sin(x) dx          otherwise    
⎪   ⌡                                     
⎪   0                                     
⎩                                         

∞          
⌠          
⎮ sin(x)   
⎮ ────── dx
⎮   √x     
⌡          
0          

√2⋅√π
─────
  2  

∞          
⌠          
⎮ sin(x)   
⎮ ────── dx
⎮   x      
⌡          
0          

π
─
2

∞          
⌠          
⎮ sin(x)   
⎮ ────── dx
⎮   3/2    
⎮  x       
⌡          
0          

√2⋅√π

∞            
⌠            
⎮ │sin(x)│   
⎮ ──────── dx
⎮   │ a│     
⎮   │x │     
⌡            
0            

∞            
⌠            
⎮ │sin(x)│   
⎮ ──────── dx
⎮   │ a│     
⎮   │x │     
⌡            
0            

(cartesian line: sin(x) for x over (0.1, 10.0), red)
(cartesian line: sqrt(x) for x over (0.1, 10.0), green)
(cartesian line: x for x over (0.1, 10.0), blue)
(cartesian line: x**(3/2) for x over (0.1, 10.0), brown)
(cartesian line: sin(x)/sqrt(x) for x over (0.1, 10.0), orange)
(cartesian line: sin(x)/x for x over (0.1, 10.0), purple)
(cartesian line: sin(x)/x**(3/2) for x over (0.1, 10.0), pink)
(cartesian line: Abs(sin(x))/Abs(sqrt(x)) for x over (0.1, 10.0), gray)
(cartesian line: Abs(sin(x))/Abs(x) for x over (0.1, 10.0), skyblue)
(cartesian line: Abs(sin(x))/Abs(x**(3/2)) for x over (0.1, 10.0), yellow)
%