数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - 直線と平面 - 3点を通る平面の方程式、法線ベクトル、垂直

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、5(直線と平面)の練習問題8の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} P_{1} = (2, 1, 1) \\ P_{2} = (3, - 1, 1) \\ P_{3} = (4, 1, - 1) \end{array}$
  
  とおく。
  
  $\begin{array}{l} \vec{P_{2} P_{1}} = (1, - 2, 0) \\ \vec{P_{3} P_{1}} = (2, 0, - 2) \end{array}$
  
  この2つのベクトルに垂直なベクトル
  
  $N = (a, b, c)$
  
  の1つを求める。
  
  $\begin{array}{l} {\begin{cases} a - 2 b = 0 \\ 2 a - 2 c = 0 \end{cases} \\ c = a \\ b = \frac{1}{2} a \\ N = (2, 1, 2) \end{array}$
  
  求める平面は N に垂直で点
  
  $P_{1} = (2, 1, 1)$
  
  を通る平面なので、その方程式は、
  
  $\begin{array}{l} 2 x + y + 2 z = 4 + 1 + 2 \\ 2 x + y + 2 z = 7 \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \vec{P_{1} P_{2}} = (4, - 1, 4) \\ \vec{P_{1} P_{3}} = (- 2, - 4, 2) \\ {\begin{cases} 4 a - b + 4 c = 0 \\ - a - 2 b + c = 0 \\ - 9 a - 7 c = 0 \end{cases} \\ c = - \frac{9}{7} a \\ b = 4 a - \frac{36}{7} a = - \frac{8}{7} \\ N = (7, - 8, - 9) \\ 7 x - 8 y - 9 z = - 14 - 24 + 9 \\ 7 x - 8 y - 9 z = - 29 \end{array}$
3. $\begin{array}{l} \vec{P_{1} P_{2}} = (6, 3, - 3) = 3 (2, 1, - 1) \\ \vec{P_{1} P_{3}} = (8, 0, 0) = 8 (1, 0, 0) \\ 2 a + b - c = 0 \\ a = 0 \\ b = c \\ N = (0, 1, 1) \\ y + z = - 1 + 2 \\ y + z = 1 \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import symbols from sympy.plotting import plot3d print('8.') x, y = symbols('x, y') p = plot3d((7 - 2 * x - y) / 2, (7 * x - 8 * y + 29) / 9, 1 - y, ylim=(-10, 10), show=False) p.xlabel = x p.ylabel = y p.show() p.save(f'sample8.png')

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2020年1月26日日曜日

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