数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - ベクトルのノルム - n-空間、2つのベクトル間の距離、可換律、三角不等式

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、4(ベクトルのノルム)の練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}d\left(A,B\right)\\ =∥A-B∥\\ =\sqrt{\left(A-B\right)·\left(A-B\right)}\\ =\sqrt{\left(-1\right)\left(B-A\right)·\left(-1\right)\left(B-A\right)}\\ =\sqrt{\left(B-A\right)·\left(B-A\right)}\\ =∥B-A∥\\ =d\left(B,A\right)\end{array}$

   よって距離は可換である。

   $\begin{array}{l}d\left(A,B\right)\\ =∥A-B∥\\ =∥\left(A-C\right)+\left(C-B\right)∥\\ \le ∥A-C∥+∥C-B∥\\ =d\left(A,C\right)+d\left(C,B\right)\end{array}$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix

print('7.')

a = Matrix([1, 2])
b = Matrix([2, 3])
c = Matrix([4, 5])


def distance(a, b):
    return (a - b).norm()


class DistanceTestCase(TestCase):
    def test_commutative_law(self):
        self.assertEqual(distance(a, b), distance(b, a))

    def test_triangle_inequality(self):
        self.assertLessEqual(distance(a, b), distance(a, c) + distance(c, b))


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample7.py -v
7.
test_commutative_law (__main__.DistanceTestCase) ... ok
test_triangle_inequality (__main__.DistanceTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.050s

OK
%