数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - ベクトルのノルム - n-空間、和のノルム、差のノルム、平方、関係式

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、4(ベクトルのノルム)の練習問題8の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} {∥A + B∥}^{2} + {∥A - B∥}^{2} \\ = (A + B) \cdot (A + B) + (A - B) \cdot (A - B) \\ = A^{2} + 2 A \cdot B + B^{2} + A^{2} - 2 A \cdot B + B^{2} \\ = 2 A^{2} + 2 B^{2} \\ = 2 {∥A∥}^{2} + 2 {∥B∥}^{2} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} {∥A + B∥}^{2} \\ = (A + B) \cdot (A + B) \\ = A^{2} + 2 A \cdot B + B^{2} \\ = {∥A∥}^{2} + {∥B∥}^{2} + 2 A \cdot B \end{array}$
3. $\begin{array}{l} {∥A + B∥}^{2} - {∥A - B∥}^{2} \\ = (A^{2} + 2 A \cdot B + β^{2}) - (A^{2} - 2 A \cdot B + B^{2}) \\ = 4 A \cdot B \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, Matrix print('8.') a = Matrix([1, 2, 3]) b = Matrix([-4, 5, -6]) class DistanceTestCase(TestCase): def test_a(self): self.assertEqual((a + b).norm() ** 2 + (a - b).norm() ** 2, 2 * a.norm() ** 2 + 2 * b.norm() ** 2) def test_b(self): self.assertEqual((a + b).norm() ** 2, a.norm() ** 2 + b.norm() ** 2 + 2 * a.dot(b)) def test_c(self): self.assertEqual((a + b).norm() ** 2 - (a - b).norm() ** 2, 4 * a.dot(b)) if __name__ == '__main__': main()

% ./sample8.py -v 8. test_a (__main__.DistanceTestCase) ... ok test_b (__main__.DistanceTestCase) ... ok test_c (__main__.DistanceTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 3 tests in 0.045s OK %

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2020年1月9日木曜日

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