数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - ベクトルのノルム - 零でない互いに直交するベクトル、一次結合

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、4(ベクトルのノルム)の練習問題6の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} A_{i} \cdot \sum_{k = 1}^{n} c_{k} A_{k} \\ = \sum_{k = 1}^{n} c_{k} (A_{i} \cdot A_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{j - 1} c_{k} (A_{i} \cdot A_{k}) + c_{i} (A_{i} \cdot A_{j}) + \sum_{k = j + 1}^{n} c_{k} (A_{i} \cdot A_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{j - 1} c_{k} 0 + c_{i} (A_{i} \cdot A_{j}) + \sum_{k = j + 1}^{n} c_{k} 0 \\ = c_{i} (A_{i} \cdot A_{j}) \\ i = 1, \cdot \cdot \cdot, n \\ i \neq j \\ A_{i} \cdot A_{j} \neq 0 \end{array}$

が成り立つ。

また、

$c_{i} (A_{i} \cdot A_{j}) = 0$

なので、

$c_{i} = 0$

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, solve

print('6.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        a1 = Matrix([1, 0, 0])
        a2 = Matrix([0, 1, 0])
        a3 = Matrix([0, 0, 1])
        c1, c2, c3 = symbols('c1, c2, c3', imag=True)
        expr = c1 * a1 + c2 * a2 + c3 * a3
        s = solve(expr)
        self.assertEqual(s, {k: 0 for k in [c1, c2, c3]})


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py -v
6.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.008s

OK
%

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2020年1月7日火曜日

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