数学 - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 曲線、速度ベクトルと加速度ベクトルが直交する場合、速さが一定であるための十分条件

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第18章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題14の解答を求めてみる。

14. 
    

    曲線を

    $X\left(t\right)$

    とおく。

    加速度ベクトルと速度ベクトルが いつも直交するので、

    $X\text{'}\left(t\right)·X\text{'}\text{'}\left(t\right)=0$

    このとき、

    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dt}}v\left(t\right)\\ =\frac{d}{\mathrm{dt}}\sqrt{X\text{'}\left(t\right)·X\text{'}\left(t\right)}\\ =\frac{1}{2\sqrt{X\text{'}\left(t\right)·X\text{'}\left(t\right)}}\left(X\text{'}\text{'}\left(t\right)·X\text{'}\left(t\right)+X\text{'}\left(t\right)·X\text{'}\text{'}\left(t\right)\right)\\ =\frac{X\text{'}\text{'}\left(t\right)·X\text{'}\left(t\right)}{\sqrt{X\text{'}\left(t\right)·X\text{'}\left(t\right)}}\\ =0\end{array}$

    よって、 速さは一定である。

    （証明終）