2020年2月2日日曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題1の解答を求めてみる。


  1. 任意の n に対して関数

    fnx

    は有界なので、 ある

    Mn

    が存在して、 すべての E 上の x に対して

    fnxMn

    が成り立つ。

    また、関数列

    fnn

    は E で一様収束するので、任意の

    ε>0

    に対してある 自然数 N が存在して、任意の m、n に対して、

    m,nN

    ならば、 E 上のすべての x に対して

    fmx-fnx<ε

    が成り立つ。

    よって

    fmx-fNx<ε

    また、

    fmx-fNxfmx-fNx

    ゆえに、

    fmx<fNx+εMN+ε

    また、

    M=maxM0,,MN-1,MN+ε

    とおけば、任意の自然数 n および E 上の任意の xに対して、

    fnxM

    ゆえに、 関数列

    fnn

    は E で一様有界である。

    (証明終)

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