数学 - 解析学 - 関数列と関数級数 - 一様収束 - 有界、一様有界

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   任意の n に対して関数

   $f_n\left(x\right)$

   は有界なので、 ある

   $M_n$

   が存在して、 すべての E 上の x に対して

   $f_n\left(x\right)\le M_n$

   が成り立つ。

   また、関数列

   ${\left(f_n\right)}_{n\in \text{ℕ}}$

   は E で一様収束するので、任意の

   $\epsilon >0$

   に対してある 自然数 N が存在して、任意の m、n に対して、

   $m,n\ge N$

   ならば、 E 上のすべての x に対して

   $\left|f_m\left(x\right)-f_n\left(x\right)\right|<\epsilon$

   が成り立つ。

   よって

   $\left|f_m\left(x\right)-f_N\left(x\right)\right|<\epsilon$

   また、

   $\left|f_m\left(x\right)\right|-\left|f_N\left(x\right)\right|\le \left|f_m\left(x\right)-f_N\left(x\right)\right|$

   ゆえに、

   $\begin{array}{l}\left|f_m\left(x\right)\right|\\ <\left|f_N\left(x\right)\right|+\epsilon \\ \le M_N+\epsilon \end{array}$

   また、

   $M=\max \left\{M_0,\dots ,M_{N-1},M_N+\epsilon \right\}$

   とおけば、任意の自然数 n および E 上の任意の xに対して、

   $\left|f_n\left(x\right)\right|\le M$

   ゆえに、 関数列

   ${\left(f_n\right)}_{n\in \text{ℕ}}$

   は E で一様有界である。

   （証明終）