数学 - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 点と曲線の距離、最小値、微分、直線、パラメーター方程式

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第18章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}\left|X\left(t\right)-Q\right|\\ =\sqrt{\left(X\left(t\right)-Q\right)·\left(X\left(t\right)-Q\right)}\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{l}{\left|X\left(t\right)-Q\right|}^2\\ =\left(X\left(t\right)-Q\right)·\left(X\left(t\right)-Q\right)\\ =X{\left(t\right)}^2-2Q·X\left(t\right)+Q^2\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}{\left|X\left(t\right)-Q\right|}^2\\ =2X\text{'}\left(t\right)·X\left(t\right)-2Q·X\text{'}\left(t\right)\\ =2X\text{'}\left(t\right)·\left(X\left(t\right)-Q\right)\end{array}$

       このことから

       $\begin{array}{l}X\text{'}\left(t_0\right)·\left(X\left(t_0\right)-Q\right)=0\\ X\text{'}\left(t_0\right)·\left(Q-X\left(t_0\right)\right)=0\end{array}$

       よって、 ベクトル

       $Q-X\left(t_0\right)$

       は点

       $X\left(t_0\right)$

       における曲線への法ベクトルである。

       （証明終）

    3. 
       

       問題の曲線がある直線のパラメーター方程式のとき、 Pて直線上の点とし、 向きを Y とすれば

       $X\left(t\right)=P+Y\left(t\right)$

       とおくことができる。

       距離 が最小となるとき、

       $X\left(t_0\right)=P+Y\left(t_0\right)$

       で Y は方向ベクトルなので、

       $\left|Q-X\left(t_0\right)\right|$

       が最小となるような

       $t_0$

       はただ1つである。

       （証明終）