数学 - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - 直線と平面 - 点と平面の距離の定義、パラメータ方程式、法線ベクトル、垂直

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、5(直線と平面)の練習問題18の解答を求めてみる。

18. 
    

    P を通り N の向きもつ直線のパラメーター 方程式は、

    $\begin{array}{l}X=\left(1,3,5\right)+t\left(-1,1,-1\right)\\ =\left(1-t,3+t,5-t\right)\end{array}$

    Q を通り N に垂直な平面 の方程式は、

    $\begin{array}{l}-x+y-z=1+1-7\\ x-y+z=5\end{array}$

    直線と平面の交点を求める。

    $\begin{array}{l}\left(1-t\right)-\left(3+t\right)+\left(5-t\right)=5\\ -3t+3=5\\ t=-\frac{2}{3}\\ P\text{'}=\left(\frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{17}{3}\right)\end{array}$

    よって、 P と平面の距離は、

    $\begin{array}{l}\left|PP\text{'}\right|\\ =\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}\\ =\frac{2}{3}\sqrt{3}\\ =\frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}$