数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - 収束半径、収束区間、端点、収束域、根判定法、比判定法

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.2(整級数)、問題3の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{\log (n + 1)} \\ = 1 \\ \frac{{(- 1)}^{n}}{\log n} \\ \frac{1}{\log n} \end{array}$
  
  よって、収束半径、収束区間はそれぞれ
  
  $\begin{array}{l} R = 1 \\ [- 1., 1) \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^{n}} = 2 \\ R = \frac{1}{2} \end{array}$
  
  収束区間の端点における収束・発散について。
  
  $2^{n} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} = 1$
  
  よって、
  
  $\frac{1}{2}$
  
  では発散する。
  
  $2^{n} {(- \frac{1}{2})}^{n} = {(- 1)}^{n}$
  
  よって
  
  $- \frac{1}{2}$
  
  でも発散する。
  
  ゆえに、収束域は、
  
  $\begin{array}{l} (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \\ |x| < \frac{1}{2} \end{array}$
3. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^{n}}} = \frac{1}{2} \\ R = 2 \\ \frac{1}{2^{n}} {(- 2)}^{n} = {(- 1)}^{n} \\ \frac{1}{2^{n}} 2^{n} = 1 \\ (- 2, 2) \\ |x| < 2 \end{array}$
4. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{p}}{n^{p}} \\ = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{p} \\ = 1 \\ R = 1 \\ n^{p} 1^{n} = n^{p} \\ n^{p} {(- 1)}^{n} \\ (- 1, 1) \\ |x| < 1 \end{array}$
5. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{n^{p}}{{(n + 1)}^{p}} = 1 \\ R = 1 \\ \frac{1}{n^{p}} {(- 1)}^{n} \\ \frac{1}{n^{p}} \end{array}$
  
  よって収束区間の端点について、
  
  $x = - 1$
  
  では収束する。
  
  $x = 1$
  
  について、
  
  $0 < p \leq 1$
  
  ならば、発散する。
  
  よって、
  
  $0 < p \leq 1$
  
  ならば収束域は
  
  $[- 1, 1)$
  
  また、
  
  $1 > p$
  
  ならば、
  
  $\begin{array}{l} [- 1, 1] \\ |x| \leq 1 \end{array}$
6. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{(n + 1)!}{{(n + 1)}^{n + 1}} \cdot \frac{n^{n}}{n!} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{(n + 1) {(1 + \frac{1}{n})}^{n}} \\ = \frac{1}{e} \\ R = e \\ \frac{n!}{n^{n}} e^{n} \end{array}$
  
  よって、収束域は
  
  $\begin{array}{l} (- e, e) \\ |x| < e \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import symbols, log, factorial, summation, pprint, oo, Limit, root, plot from sympy import Rational print('3.') n = symbols('n', integer=True) x = symbols('x') p = symbols('p', positive=True) ts = [1 / log(n), 2 ** n, 1 / 2 ** n, n ** p, 1 / n ** p, factorial(n) / n ** n] ns = [2, 0, 0, 0, 1, 1] for i, (t, n0) in enumerate(zip(ts, ns), 1): print(f'({i})') l1 = Limit(root(t, n), n, oo) l2 = Limit(t.subs({n: n+1}) / t, n, oo) s = summation(t, (n, n0, oo)) for o in [l1, l1.doit(), l2, l2.doit(), s]: pprint(o) print() fs = [sum([t.subs({n: i}) * x ** i for i in range(n0, n0 + 5)]) for t, n0 in zip(ts[:3] + [ts[5]], ns[:3] + [ns[5]])] gs = [sum([t.subs({n: i, p: p0}) * x ** i for i in range(n0, n0 + 5)]) for t, n0 in zip(ts[3:5], ns[3:5]) for p0 in [Rational(1, 2), 1, 2]] p = plot(*fs, *gs, (x, -5, 5), ylim=(-5, 5), legend=False, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color for o in zip(fs + gs, colors): pprint(o) p.show() p.save('sample3.png')

% ./sample3.py 3. (1) ________ ╱ 1 lim n ╱ ────── n─→∞╲╱ log(n) 1 ⎛ log(n) ⎞ lim ⎜──────────⎟ n─→∞⎝log(n + 1)⎠ 1 ∞ ____ ╲ ╲ ╲ 1 ╱ ────── ╱ log(n) ╱ ‾‾‾‾ n = 2 (2) lim 2 n─→∞ 2 ⎛ -n n + 1⎞ lim ⎝2 ⋅2 ⎠ n─→∞ 2 ∞ (3) lim (1/2) n─→∞ 1/2 ⎛ n -n - 1⎞ lim ⎝2 ⋅2 ⎠ n─→∞ 1/2 2 (4) ____ n ╱ p lim ╲╱ n n─→∞ 1 ⎛ -p p⎞ lim ⎝n ⋅(n + 1) ⎠ n─→∞ 1 ∞ ___ ╲ ╲ p ╱ n ╱ ‾‾‾ n = 0 (5) _____ n ╱ -p lim ╲╱ n n─→∞ 1 ⎛ p -p⎞ lim ⎝n ⋅(n + 1) ⎠ n─→∞ 1 ⎧ ζ(p) for p > 1 ⎪ ⎪ ∞ ⎪ ___ ⎪ ╲ ⎨ ╲ -p ⎪ ╱ n otherwise ⎪ ╱ ⎪ ‾‾‾ ⎪n = 1 ⎩ (6) ________ n ╱ -n lim ╲╱ n ⋅n! n─→∞ -1 ℯ ⎛ n -n - 1 ⎞ ⎜n ⋅(n + 1) ⋅(n + 1)!⎟ lim ⎜─────────────────────────⎟ n─→∞⎝ n! ⎠ -1 ℯ ∞ ___ ╲ ╲ -n ╱ n ⋅n! ╱ ‾‾‾ n = 1 ⎛ 6 5 4 3 2 ⎞ ⎜ x x x x x ⎟ ⎜────── + ────── + ────── + ────── + ──────, red⎟ ⎝log(6) log(5) log(4) log(3) log(2) ⎠ ⎛ 4 3 2 ⎞ ⎝16⋅x + 8⋅x + 4⋅x + 2⋅x + 1, green⎠ ⎛ 4 3 2 ⎞ ⎜x x x x ⎟ ⎜── + ── + ── + ─ + 1, blue⎟ ⎝16 8 4 2 ⎠ ⎛ 5 4 3 2 ⎞ ⎜24⋅x 3⋅x 2⋅x x ⎟ ⎜───── + ──── + ──── + ── + x, brown⎟ ⎝ 625 32 9 2 ⎠ ⎛ 4 3 2 ⎞ ⎝2⋅x + √3⋅x + √2⋅x + x, orange⎠ ⎛ 4 3 2 ⎞ ⎝4⋅x + 3⋅x + 2⋅x + x, purple⎠ ⎛ 4 3 2 ⎞ ⎝16⋅x + 9⋅x + 4⋅x + x, pink⎠ ⎛ 5 4 3 2 ⎞ ⎜√5⋅x x √3⋅x √2⋅x ⎟ ⎜───── + ── + ───── + ───── + x, gray⎟ ⎝ 5 2 3 2 ⎠ ⎛ 5 4 3 2 ⎞ ⎜x x x x ⎟ ⎜── + ── + ── + ── + x, skyblue⎟ ⎝5 4 3 2 ⎠ ⎛ 5 4 3 2 ⎞ ⎜x x x x ⎟ ⎜── + ── + ── + ── + x, yellow⎟ ⎝25 16 9 4 ⎠ %

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2020年2月17日月曜日

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