数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - 逆正弦関数の整級数展開、微分、無限等比級数、二項定理、収束半径、項別積分

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.2(整級数)、問題7の解答を求めてみる。

逆正弦関数を微分すると、

$\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

また、二項定理より、

$\begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ = {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (- \frac{1}{n^{2}}) {(- x^{2})}^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(- 1)}^{n} x^{2 n} \end{array}$

この整級数の項別積分を考えれば、

$\begin{array}{l} \arcsin x \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) {(- 1)}^{n} \frac{1}{2 n + 1} x^{2 n + 1} \end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, plot, factorial, pprint, asin, Rational

print('7.')


def comb(a, n):
    num = 1
    for n0 in range(n):
        num *= (a - n0)
    return num / factorial(n)


x = symbols('x')
p = plot(asin(x),
         *[sum([comb(-Rational(1, 2), n) * (-1) ** n * 1 / (2 * n + 1) * x ** (2 * n + 1) for n in range(m)])
           for m in range(1, 6)],
         (x, -1.5, 1.5),
         ylim=(-1.5, 1.5),
         legend=False,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
for o in zip(p, colors):
    pprint(o)

p.show()
p.save('sample7.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample7.py
7.
(cartesian line: asin(x) for x over (-1.5, 1.5), red)
(cartesian line: x for x over (-1.5, 1.5), green)
(cartesian line: x**3/6 + x for x over (-1.5, 1.5), blue)
(cartesian line: 3*x**5/40 + x**3/6 + x for x over (-1.5, 1.5), brown)
(cartesian line: 5*x**7/112 + 3*x**5/40 + x**3/6 + x for x over (-1.5, 1.5), ora
nge)
(cartesian line: 35*x**9/1152 + 5*x**7/112 + 3*x**5/40 + x**3/6 + x for x over (
-1.5, 1.5), purple)
%

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2020年2月21日金曜日

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