2020年2月6日木曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題5の解答を求めてみる。


  1. ε

    を任意の正の実数とする。

    x<ε

    の場合、

    fnx=x1+nx2<x<ε

    また、

    xε

    の場合、自然数

    N>1ε2

    となるある自然数 N に対して

    nN

    ならば、

    fnxx1+nx21nx1nε<11ε2ε=ε

    よって、関数列

    fnn

    は実数上で関数

    fx=0

    に一様収束する。

    また、

    x0

    の場合、

    f'x=0fn'x=1+nx2-2nx21+nx22=1-nx21+nx22=1n2-1nx21n+x22limnfnx=0=f'x

    (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, plot

print('5.')

n = symbols('n', integer=True, nonegative=True)
x = symbols('x')
fn = x / (1 + n * x ** 2)

p = plot(*[fn.subs({n: n0}) for n0 in range(10)],
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py
5.
%

0 コメント:

コメントを投稿