数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 一様収束 - 微分、導関数、極限

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\epsilon$

   を任意の正の実数とする。

   $\left|x\right|<\epsilon$

   の場合、

   $\begin{array}{l}\left|f_n\left(x\right)\right|\\ =\frac{\left|x\right|}{1+n{x}^2}\\ <\left|x\right|\\ <\epsilon \end{array}$

   また、

   $\left|x\right|\ge \epsilon$

   の場合、自然数

   $N>\frac{1}{{\epsilon }^2}$

   となるある自然数 N に対して

   $n\ge N$

   ならば、

   $\begin{array}{l}\left|f_n\left(x\right)\right|\\ \le \frac{\left|x\right|}{1+n{x}^2}\\ \le \frac{1}{n\left|x\right|}\\ \le \frac{1}{n\epsilon }\\ <\frac{1}{\frac{1}{{\epsilon }^2}\epsilon }\\ =\epsilon \end{array}$

   よって、関数列

   ${\left(f_n\right)}_{n\in \text{ℕ}}$

   は実数上で関数

   $f\left(x\right)=0$

   に一様収束する。

   また、

   $x\ne 0$

   の場合、

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\\ f_n\text{'}\left(x\right)\\ =\frac{1+n{x}^2-2n{x}^2}{{\left(1+n{x}^2\right)}^2}\\ =\frac{1-n{x}^2}{{\left(1+n{x}^2\right)}^2}\\ =\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}{x}^2}{{\left(\frac{1}{n}+x^2\right)}^2}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\left(x\right)\\ =0\\ =f\text{'}\left(x\right)\end{array}$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, plot

print('5.')

n = symbols('n', integer=True, nonegative=True)
x = symbols('x')
fn = x / (1 + n * x ** 2)

p = plot(*[fn.subs({n: n0}) for n0 in range(10)],
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py
5.
%