数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 一様収束 - リーマン積分可能な一様収束する関数列、定積分

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   問題の関数列は区間 I 上で一様収束なので、任意の正の実数

   $\epsilon >0$

   に対してある 自然数 N が存在して、 すべての I 上の xに対して、

   $\begin{array}{l}n\in \text{ℕ}\\ n\ge N\end{array}$

   ならば、

   $\left|f\left(x\right)-f_n\left(x\right)\right|<\frac{\epsilon }{\beta -\alpha }$

   が成り立つ。

   よって、

   $\begin{array}{l}x\in I\\ \left|F\left(x\right)-F_n\left(x\right)\right|\\ =\left|{\int }_a^{x}f\left(t\right)\mathrm{dt}-{\int }_a^x{f}_n\left(t\right)\mathrm{dt}\right|\\ =\left|{\int }_a^x\left(f\left(t\right)-f_n\left(t\right)\right)\mathrm{dt}\right|\\ <\left|{\int }_a^x\frac{\epsilon }{\beta -\alpha }\mathrm{dt}\right|\\ <\frac{\epsilon }{\beta -\alpha }\left|x-a\right|\\ <\frac{\epsilon }{\beta -\alpha }\left(\beta -\alpha \right)\\ <\epsilon \end{array}$

   よって、 関数列

   ${\left(F_n\right)}_{n\in \text{ℕ}}$

   は I で F に一様収束する。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, plot, Integral, Limit, oo

print('4.')

n = symbols('n', integer=True, positive=True)
x, t = symbols('x, t', real=True)
fn = sin(x / (n + 1))
f = Limit(fn, n, oo).doit()
a = 0
Fn = Integral(fn.subs({x: t}), (t, a, x)).doit()
F = Integral(f.subs({x: t}), (t, a, x)).doit()

for o in [f, Fn, Fn.limit(n, oo)]:
    pprint(o)
p = plot(F,
         *[Fn.subs({n: n0}) for n0 in range(9)],
         ylim=(0, 20),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py
4.
0
               ⎛  x  ⎞    
n - (n + 1)⋅cos⎜─────⎟ + 1
               ⎝n + 1⎠    
0
%