数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - 直線と平面 - パラメーター方程式、交点、平面の法線ベクトル(垂直なベクトル)

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、5(直線と平面)の練習問題16の解答を求めてみる。

1. 点 P を通り A に平行な直線のパラメーター方程式は、
  
  $\begin{array}{l} X = P + t A \\ = (1, 3, 5) + t (- 2, 1, 1) \\ = (1 - 2 t, 3 + t, 5 + t) \end{array}$
  
  交点を求める。
  
  $\begin{array}{l} 2 (1 - 2 t) + 3 (3 + t) - (5 + t) = 1 \\ 2 - 4 t + 9 + 3 t - 5 - t = 1 \\ t = \frac{5}{2} \\ (1 - 2 \cdot \frac{5}{2}, 3 + \frac{5}{2}, 5 + \frac{5}{2}) \\ = (- 4, \frac{11}{2}, \frac{15}{2}) \end{array}$
2. 平面
  
  $3 x - 4 y + z = 2$
  
  の法線ベクトル（垂直なベクトル）の1つは、
  
  $(3, - 4, 1)$
  
  求める交点を
  
  $A = (a, b, c)$
  
  とおくと、この交点を通り、法線ベクトルに平行な直線のパラメーター方程式は、
  
  $\begin{array}{l} X = (a, b, c) + t (3, - 4, 1) \\ = (a + 3 t, b - 4 t, c + t) \end{array}$
  
  また、
  
  $\begin{array}{l} 3 a - 4 b + c = 2 \\ c = - 3 a + 4 b + 2 \end{array}$
  
  なので、
  
  $X = (a + 3 t, b - 4 t, - 3 a + 4 b + 2 + t)$
  
  これが点 P を通るので、
  
  $\begin{array}{l} {\begin{cases} a + 3 t = 1 \\ b - 4 t = 2 \\ - 3 a + 4 b + 2 + t = - 1 \end{cases} \\ a = 1 - 3 t \\ b = 4 t + 2 \\ - 3 + 9 t + 16 t + 8 + 2 + t = - 1 \\ 26 t = - 8 \\ t = - \frac{4}{13} \\ a = 1 - 3 \cdot \frac{- 4}{13} = \frac{13 + 12}{13} = \frac{25}{13} \\ b = - \frac{16}{13} + 2 = \frac{10}{13} \\ c = - \frac{75}{13} + \frac{40}{13} + 2 = - \frac{9}{13} \end{array}$
  
  よって求める交点は、
  
  $(\frac{25}{13}, \frac{10}{13}, - \frac{9}{13})$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, Rational from sympy.plotting import plot3d, plot3d_parametric_line print('16.') t, x, y, z = symbols('t, x, y, z') p = plot3d(2 * x + 3 * y - 1, -3 * x + 4 * y + 2, (x, -5, 5), (y, -5, 5), show=False) p0 = plot3d_parametric_line((1 - 2 * t, 3 + t, 5 + t, (t, -20, 20)), (Rational(25, 13) + 3 * t, Rational(10, 13) - 4 * t, -Rational(9, 13) + t, (t, -20, 20)), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for s, color in zip(p0, colors): s.line_color = color for t in p0: p.append(t) p.show() p.save('sample16.png')

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2020年2月3日月曜日

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