数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - 級数の収束と発散と数列の収束と発散

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.2(整級数)、問題9の解答を求めてみる。

- 問題の仮定の
  
  $\begin{array}{l} 0 < a_{n} < 1 \\ n \in ℕ - \{0\} \end{array}$
  
  より
  
  $\begin{array}{l} n \in ℕ - \{0\} \\ (1 - a_{n}) (1 + a_{n}) \\ = 1 - a_{n}^{2} \\ < 1 \\ 0 < 1 - a_{n} < \frac{1}{1 + a_{n}} \\ 0 < c_{n} < \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + a_{n}} \end{array}$
  
  また、問8より、
  
  $\sum a_{n}$
  
  が発散するならば、
  
  $\prod (1 + a_{n})$
  
  は発散するので、
  
  $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} c_{n} \\ = \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + a_{n}} \\ = 0 \end{array}$
- 同様に、
  
  $\sum a_{n}$
  
  が収束するならば、
  
  $\prod (1 + a_{n})$
  
  も収束し、その値を
  
  $\begin{array}{l} α \in ℝ, α > 0 \\ \prod (1 + a_{n}) = α \end{array}$
  
  とすれば、
  
  $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} c_{n} \\ = \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + a_{n}} \\ = \frac{1}{α} \\ \frac{1}{α} \in ℝ, \frac{1}{α} > 0 \end{array}$
  
  なので、正の実数に収束する。
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, summation, oo, product print('9.') n, k = symbols('n, k', integer=True, positive=True) class MyTestCase(TestCase): def test1(self): an = 2 / n cn = product(1 - an.subs({n: k}), (k, 1, n)) self.assertEqual(summation(an, (n, 1, oo)), oo) self.assertEqual(cn.limit(n, oo), 0) def test2(self): an = 1 / n ** 2 cn = product(1 - an.subs({n: k}), (k, 1, n)) self.assertLess(summation(an, (n, 1, oo)), oo) self.assertTrue(cn.limit(n, oo).is_real) if __name__ == "__main__": main()

Kamimura's blog

2020年2月24日月曜日

数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 整級数 - 級数の収束と発散と数列の収束と発散

0 コメント:

コメントを投稿