数学 - Python - 線形代数学 - 行列 - 行列の積 - 可逆な対角行列、非零、逆行列

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の3章(行列)、2(行列の積)、練習問題15の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} A B = I_{n} \\ (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}) = I_{n} \\ (a_{i i} b_{i j}) = I_{n} \\ i = j \\ a_{i i} b_{i j} = 1 \\ a_{i i} b_{i i} = 1 \\ b_{i i} = \frac{1}{a_{i i}} \\ i \neq j \\ a_{i i} b_{i j} = 0 \\ b_{i j} = 0 \end{array}$

よって、対角行列 A の逆行列は、

$B = [\begin{matrix} \frac{1}{a_{1}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{2}} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & \frac{1}{a_{n}} \end{matrix}]$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, symbols, pprint
import random


print('15.')


def f(i, j):
    if i == j:
        return symbols(f'a{i+1}{j + 1}', nonzero=True)
    return 0


def g(i, j):
    if i == j:
        return 1 / f(i, j)
    return 0


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        for n in range(1, 3):
            A = Matrix([[f(i, j) for j in range(n)]
                        for i in range(n)])
            B = Matrix([[g(i, j) for j in range(n)]
                        for i in range(n)])
            self.assertEqual(A ** -1, B)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample15.py -v
15.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.001s

OK
%

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2020年2月18日火曜日

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