2020年2月13日木曜日


ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の3章(行列)、2(行列の積)、練習問題10の解答を求めてみる。



    • ⟨ A , B ⟩ = A T M B = a i 1 T m i j b i 1 = a 1 i m i j b i 1 = ∑ k = 1 n a 1 k m k j b i 1 = ∑ l = 1 n ∑ k = 1 n a 1 k m k l b l 1 = ∑ l = 1 n ∑ k = 1 n a 1 k m k l b l 1 = ∑ l = 1 n b l 1 ∑ k = 1 n m l k a 1 k = B T M A = ⟨ B , A ⟩

      よって、 SP 1の可換律が成り成立つ。

      ⟨ A , B + C ⟩ = A T M B + C = A T M B + A T M C = ⟨ A , B ⟩ + ⟨ A , C ⟩

      よって、 SP 2の分配律が成り立つ。

      ⟨ c A , B ⟩ = c A T M B = c A T M B = c ⟨ A , B ⟩

      よって、 SP 3の スカラー1をについての性質が成り立つ。

      ゆえに、 正値性の条件 SP 4を除くスカラー積の3つの 条件が成り立つ。

      （証明終）


    • 正値性の条件を満たさないような反例。

      M = [ 1 0 0 0 ] M T = [ 1 0 0 0 ] M = M T A = [ - 1 0 ] B = [ 1 0 ] A T M B = [ - 1 0 ] [ 1 0 0 0 ] [ 1 0 ] = [ - 1 0 ] [ 1 0 ] = - 1 = - 1 < 0

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix

print('10.')

a = Matrix([[-1],
            [0]])
b = Matrix([[1],
            [0]])
m = Matrix([[1, 0],
            [0, 0]])


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        x = (a.T * m * b)[0, 0]
        self.assertLess(x, 0)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample10.py -v
10.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.000s

OK
%
時刻: 13:00 ラベル: , , , ,

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