数学 - Python - 線形代数学 - 行列 - 行列の積 - 対角要素が1である三角行列、単位行列、狭義の上三角行列、累乗、零、逆行列

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の3章(行列)、2(行列の積)、練習問題17の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} N \\ = N - I_{n} \\ = [\begin{matrix} 0 & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n - 1, n} \\ 0 & 0 & 0 & . . . & 0 \end{matrix}] \end{array}$

よって、 N は狭義の上三角行列なので、間16より

$N^{n} = O$

A の逆行列について。

$\begin{array}{l} A (I - N + N^{2} - \dots + {(- 1)}^{n - 1} N^{n - 1}) \\ = (I + N) (I - N + N^{2} - \dots + {(- 1)}^{n - 1} N^{n - 1}) \\ = I + N - N + N^{2} - N^{2} + \dots + {(- 1)}^{n - 1} N^{n} \\ = I + {(- 1)}^{n - 1} O \\ = I \end{array}$

よって、

$\begin{array}{l} A^{- 1} \\ = {(I + N)}^{- 1} \\ = I - N + N^{2} - \dots + {(- 1)}^{n - 1} N^{n - 1} \end{array}$

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, symbols


print('17.')


def f(i, j):
    if i == j:
        return 1
    if i > j:
        return 0
    return symbols(f'a{i}{j}')


def g(i, j):
    if i == j:
        return 1
    return 0


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        for n in range(1, 11):
            A = Matrix([[f(i + 1, j + 1) for j in range(n)]
                        for i in range(n)])
            In = Matrix([[f(i, j) for j in range(n)]
                         for i in range(n)])
            N = A - In
            Z = Matrix([[0 for _ in range(n)]
                        for _ in range(n)])
            self.assertEqual(N ** n, Z)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample17.py -v
17.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.387s

OK
%

Kamimura's blog

2020年2月20日木曜日

数学 - Python - 線形代数学 - 行列 - 行列の積 - 対角要素が1である三角行列、単位行列、狭義の上三角行列、累乗、零、逆行列

0 コメント:

コメントを投稿