数学 - Python - 線形代数学 - 行列 - 行列の積 - 三角行列、対角要素、非零、逆数、積

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の3章(行列)、2(行列の積)、練習問題19の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} A B \\ = (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}) \\ = (\sum_{k = i}^{n} a_{i k} b_{k j}) \\ k \neq j \\ b_{k j} = 0 \\ k = j \\ b_{k j} = a_{j j}^{- 1} \end{array}$

よって

$\begin{array}{l} A B \\ = [\begin{matrix} a_{11} b_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ 0 & a_{22} b_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} b_{n n} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ 0 & 1 & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}] \end{array}$

また、

$\begin{array}{l} B A \\ = (\sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k j}) \\ = (\sum_{k = i}^{i} b_{i k} a_{k j}) \\ = (b_{i i} a_{i j}) \\ i > j \\ a_{i j} = 0 \end{array}$

よって、

$\begin{array}{l} B A \\ = [\begin{matrix} b_{11} a_{11} & b_{11} a_{12} & \dots & b_{11} a_{1 n} \\ 0 & b_{22} a_{22} & \dots & b_{22} a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & b_{n n} a_{n n} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ 0 & 1 & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}] \end{array}$

よって、 AB、 BA ともに三角行列で、その対角要素は1である。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, symbols


print('19.')


def a(i, j):
    if i > j:
        return 0
    if i == j:
        return symbols(f'a{i}{j}', nonzero=True)
    return symbols(f'a{i}{j}')


def b(i, j):
    if i == j:
        return 1 / symbols(f'a{i}{j}', nonzero=True)
    return 0


n = 4
A = Matrix([[a(i + 1, j + 1) for j in range(n)]
            for i in range(n)])
B = Matrix([[b(i + 1, j + 1) for j in range(n)]
            for i in range(n)])


class MyTestCase(TestCase):
    def testAB(self):
        C = A * B
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if i == j:
                    self.assertEqual(C[i, j], 1)
                if j < i:
                    self.assertEqual(C[i, j], 0)

    def testBA(self):
        C = B * A
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if i == j:
                    self.assertEqual(C[i, j], 1)
                if j < i:
                    self.assertEqual(C[i, j], 0)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample19.py -v
19.
testAB (__main__.MyTestCase) ... ok
testBA (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.043s

OK
%

Kamimura's blog

2020年2月22日土曜日

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