数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 交点の位置ベクトルを求めること - 三角形、辺、内分点、比、一次結合、一意性

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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、交点の位置ベクトルを求めることの問30の解答を求めてみる。

30. 
    
    1. 
       

       点 P は線分 BM を

       $\begin{array}{l}m:1-m\\ =\frac{2}{3}:\frac{1}{3}\\ =2:1\end{array}$

       とういう比に内分する。

       点 P は線分 C N を

       $\begin{array}{l}n:1-n\\ =\frac{7}{12}:\frac{5}{12}\\ =7:5\end{array}$

       という比に内分する。

    2. 
       

       点しが辺 BC を

       $k:1-k$

       という比に内分するとすると、

       $\begin{array}{l}\overrightarrow{AL}\\ =\left(1-k\right)\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}\end{array}$

       また、 点 L は AP の延長なので、 ある実数 m が存在して、

       $\begin{array}{l}\overrightarrow{AL}\\ =m\overrightarrow{AP}\\ =\frac{1}{3}m\overrightarrow{b}+\frac{5}{12}m\overrightarrow{c}\end{array}$

       1次結合であることを考えれば、

       $\{\begin{array}{l}1-k=\frac{1}{3}m\\ k=\frac{5}{12}m\end{array}$

       この1次連立方程式 の解を求める。

       $\begin{array}{l}1-\frac{5}{12}m=\frac{1}{3}m\\ m=\frac{4}{3}\\ k=\frac{5}{12}·\frac{4}{3}=\frac{5}{9}\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{l}\overrightarrow{AL}\\ =\frac{1}{3}·\frac{4}{3}\overrightarrow{b}+\frac{5}{12}·\frac{4}{3}\overrightarrow{c}\\ =\frac{4}{9}\overrightarrow{b}+\frac{5}{9}\overrightarrow{c}\end{array}$

       と表すことができ、点 L は辺 BC を

       $\begin{array}{l}\frac{5}{9}:1-\frac{5}{9}\\ =\frac{5}{9}:\frac{4}{9}\\ =5:4\end{array}$

       という比に内分する。

       （証明終）