数学 - 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル - ベクトルの応用 - 分点の位置ベクトル - 六角形、各辺の中点を結ぶ2つの三角形、重心

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.2(ベクトルの応用)、分点の位置ベクトルの問26の解答を求めてみる。

26. 
    

    六角形の頂点を順に ABC DEF とする。

    また、 辺 AB、 BC、 CD、 DE、 EF、 FA の中点をそれぞれL、 P 、 M、 Q、 N、 Rとする。

    このとき、

    $\begin{array}{l}L=\frac{A+B}{2}\\ P=\frac{B+C}{2}\\ M=\frac{C+D}{2}\\ Q=\frac{D+E}{2}\\ N=\frac{E+F}{2}\\ R=\frac{F+A}{2}\end{array}$

    よって、 三角形 LMN の 重心は、

    $\begin{array}{l}\frac{\frac{A+B}{2}+\frac{C+D}{2}+\frac{E+F}{2}}{3}\\ =\frac{A+B+C+D+E+F}{6}\end{array}$

    三角形 PQR の重心は、

    $\begin{array}{l}\frac{\frac{B+C}{2}+\frac{D+E}{2}+\frac{F+A}{2}}{3}\\ =\frac{A+B+C+D+E+F}{6}\end{array}$

    よって、 三角形 LMN の重心と三角形 PQRの重心は一致する。

    （証明終）