数学 - 解析学 - 関数列と関数級数 - 複素整級数(指数関数・三角関数再論) - 複素数の三角関数(正弦と余弦、正接)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.3(複素整級数(指数関数・三角関数再論))、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   • 
     
     $\begin{array}{l}\sin i\\ =\frac{e^{i^2}-e^{-i^2}}{2i}\\ =\frac{e^{-1}-e}{2i}\\ =\frac{i\left(e-e^{-1}\right)}{2}\end{array}$
   • 
     
     $\begin{array}{l}\cos \left(-i\right)\\ =\frac{e^{i^2}+e^{-i^2}}{2}\\ =\frac{e+e^{-1}}{2}\end{array}$
   • 
     
     $\begin{array}{l}\tan \left(1+i\right)\\ =\frac{\sin \left(1+i\right)}{\cos \left(1+i\right)}\\ =\frac{e^{i\left(1+i\right)}-e^{-i\left(1+i\right)}}{2i}·\frac{2}{e^{i\left(1+i\right)}+e^{-i\left(1+i\right)}}\\ =\frac{e^i\left(e^{1+i}-e^{-\left(1+i\right)}\right)}{i{e}^i\left(e^{1+i}+e^{-\left(1+i\right)}\right)}\\ =\frac{i\left(e^{-\left(1+i\right)}-e^{1+i}\right)}{e^{1+i}+e^{-\left(1+i\right)}}\\ =i\frac{1-e^{2\left(1+i\right)}}{1+e^{2\left(1+i\right)}}\end{array}$