数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 平行四辺形の定義、一次独立な二つのベクトル、ベクトル空間、平行四辺形の像

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $v_1,v_2$

    の 2つの1次独立なベクトルで張られる平行四辺形は、

    $\left\{t_1{v}_1+t_2{v}_2|0\le t_1\le 1,0\le t_2\le 1\right\}$

    この線形写像による像は、

    $\begin{array}{l}\left\{F\left(t_1{v}_1+t_2{v}_2\right)|0\le t_1\le 1,0\le t_2\le 1\right\}\\ =\left\{t_{1}F\left(v_1\right)+t_{2}F\left(v_2\right)|0\le t_1\le 1,0\le t_2\le 1\right\}\end{array}$

    問題の仮定より、ベクトル

    $F\left(v_1\right),F\left(v_2\right)$

    は一次独立なので、像も平行四辺形である。

    （証明終）