数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 凸集合の共通部分、線分

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題17の解答を求めてみる。

17. 
    

    a、 b を 問題の2つの集合

    $\begin{array}{l}{S}_1,S_2\\ a,b\in S_1\cap S_2\end{array}$

    の共通部分の任意の点とする。

    2点 a、 b を結ぶ線分上の点を

    $\begin{array}{l}\left(1-t\right)a+tb\\ 0\le t\le 1\end{array}$

    とおく。

    このとき、 2 つの集合 は共に凸集合なので、

    $\begin{array}{l}\left(1-t\right)a+tb\in S_1\\ \left(1-t\right)a+tb\in S_2\end{array}$

    よって、

    $\left(1-t\right)a+tb\in S_1\cap S_2$

    ゆえに、

    $\left[a,b\right]\subset S_1\cap S_2$

    なので、共通な点の集合は凸集合である。

    （証明終）