数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 凸集合の原像

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題18の解答を求めてみる。

18. 
    

    A、 B を

    $S\text{'}$

    の任意の元とする。

    このとき、

    $\begin{array}{l}L\left(A\right)\in S\\ L\left(B\right)\in S\end{array}$

    また、 2点 A、 B と結ぶ線分上の点を

    $\begin{array}{l}\left(1-t\right)A+tB\\ 0\le t\le 1\end{array}$

    とおくと、 この点の線形写像 L による像は

    $\begin{array}{l}L\left(\left(1-t\right)A+tB\right)\\ =\left(1-t\right)L\left(A\right)+tL\left(B\right)\end{array}$

    S は 凸集合なので、 この線は S に 含まれる。

    よって

    $\left(1-t\right)A+tB\in S\text{'}$

    ゆえに線分 A B は集合

    $S\text{'}$

    に含まれるので、

    $S\text{'}$

    は凸集合である。

    （証明終）