数学 - Python - 代数学 - 1次方程式, 2次方程式 - 2つの解、数列、漸化式、等式の証明

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(1次方程式, 2次方程式 )、練習問題20の解答を求めてみる。

20. 
    

    問題の仮定より、

    $\begin{array}{l}{\alpha }^2+p\alpha +q=0\\ {\alpha }^{n+2}+p{\alpha }^{n+1}+q{\alpha }^n=0\\ {\beta }^2+p\beta +q=0\\ {\beta }^{n+2}+p{\beta }^{n+1}+q{\beta }^n=0\\ \left({\alpha }^{n+2}+{\beta }^{n+2}\right)+p\left({\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}\right)+q\left({\alpha }^n+{\beta }^n\right)=0\\ a_{n+2}+p{a}_{n+1}+q{a}_n=0\end{array}$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, solve, Rational, I

print('20.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        x = symbols('x')
        p, q = symbols('p, q', real=True)
        eq = x ** 2 + p * x + q
        n = symbols('n', integer=True, positive=True)
        alpha, beta = solve(eq, x)
        an = alpha ** n + beta ** n
        self.assertEqual(
            (an.subs({n: n + 2}) + p *
             an.subs({n: n + 1}) + q * an).simplify(),
            0)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample20.py -v
20.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.526s

OK
%