数学 - Python - 代数学 - 1次方程式, 2次方程式 - 解と係数の関係、判別式、実数の範囲、複素数の範囲

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(1次方程式, 2次方程式 )、練習問題16、17の解答を求めてみる。

1. 解と係数の関係により、
  
  $\begin{array}{l} {\begin{cases} 4 = - b \\ 8 = 2 c \end{cases} \\ b = - 4 \\ c = 4 \end{array}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} x \\ = - b \pm \sqrt{b^{2} - c} \\ = 4 \pm \sqrt{16 - 4} \\ = 4 \pm 2 \sqrt{3} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} x \\ = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 c}}{2} \\ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ = 2 \end{array}$
1. $\begin{array}{l} D \\ = 49 - 8 m \\ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8 m}}{4} \end{array}$
  
  1つの解が5である場合。
  
  $\begin{array}{l} 49 - 8 m \geq 0 \\ m \leq \frac{49}{8} \\ \frac{7 + \sqrt{49 - 8 m}}{4} = 5 \\ 7 + \sqrt{49 - 8 m} = 20 \\ 49 - 8 m = 169 \\ 8 m = - 120 \\ m = - 15 \end{array}$
2. 1つの解を a とし、2つの解を
  
  $a, 2 a$
  
  とすると、解と係数の関係により、
  
  $\begin{array}{l} a + 2 a = \frac{7}{2} \\ a \cdot 2 a = \frac{m}{2} \\ a = \frac{7}{6} \\ m \\ = 4 a^{2} \\ = \frac{49}{9} \end{array}$
3. 2つの解が虚数解なので、
  
  $\begin{array}{l} 49 - 8 m < 0 \\ m > \frac{49}{8} \end{array}$
  
  2つの解について、解と係数の関係により、
  
  $\begin{array}{l} α + β = \frac{7}{2} \\ α β = \frac{m}{2} \end{array}$
  
  問題の差の仮定より、
  
  $α - β = \frac{\sqrt{15}}{2} i$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} {(α - β)}^{2} = - \frac{15}{4} \\ {(α + β)}^{2} - 4 α β = - \frac{15}{4} \\ \frac{49}{4} - 2 m = - \frac{15}{4} \\ 49 - 8 m = - 15 \\ 49 - 8 m = - 15 \\ m = 8 \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, solveset, I, sqrt, Rational, plot print('16, 17.') x = symbols('x') b = -4 c = 4 f = x ** 2 + b * x + 2 * c f1 = x ** 2 + 2 * b * x + c f2 = x ** 2 + b * x + c m = symbols('m') g = 2 * x ** 2 - 7 * x + m class MyTestCase(TestCase): def test16(self): self.assertEqual(solveset(f, x), {2 + 2 * I, 2 - 2 * I}) def test16_1(self): self.assertEqual(solveset(f1, x), {4 + 2 * sqrt(3), 4 - 2 * sqrt(3)}) def test17_1(self): self.assertIn(5, solveset(g.subs({m: -15}), x)) def test17_2(self): x1, x2 = solveset(g.subs({m: Rational(49, 9)})) self.assertTrue(2 * x1 == x2 or x1 == 2 * x2) def test17_3(self): x1, x2 = solveset(g.subs({m: 8}), x) self.assertTrue(x1 - x2 == sqrt(15) * I / 2 or x2 - x1 == sqrt(15) * I / 2) p = plot(f, f1, f2, *[g.subs({m: m0}) for m0 in [-15, Rational(49, 9), 8]], (x, -10, 10), ylim=(-10, 10), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save(f'sample16.png') if __name__ == "__main__": main()

% ./sample16.py -v 16, 17. test16 (__main__.MyTestCase) ... ok test16_1 (__main__.MyTestCase) ... ok test17_1 (__main__.MyTestCase) ... ok test17_2 (__main__.MyTestCase) ... ok test17_3 (__main__.MyTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 5 tests in 0.148s OK %

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2020年3月21日土曜日

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