数学 - Python - 代数学 - 1次方程式, 2次方程式 - 解と係数の関係、判別式、式の変形

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(1次方程式, 2次方程式 )、練習問題14、15の解答を求めてみる。

2次方程式の解と係数の関係により、

$\begin{array}{l} α + β = - \frac{b}{a} \\ α β = \frac{c}{a} \\ b = - a (α + β) \\ c = a α β \end{array}$

よって判別式は、

$\begin{array}{l} D \\ = b^{2} - 4 a c \\ = a^{2} {(α + β)}^{2} - 4 a^{2} α β \\ = a^{2} ({(α + β)}^{2} - 4 α β) \\ = a^{2} (α^{2} - 2 α β + β^{2}) \\ = a^{2} {(α - β)}^{2} \end{array}$

（証明終）
1. $\begin{array}{l} α + β = - \frac{b}{a} \\ α β = \frac{c}{a} \\ (2 α + β) (α + 2 β) \\ = 2 α^{2} + 5 α β + 2 β^{2} \\ = 2 {(α + β)}^{2} + α β \\ = \frac{2 b^{2}}{a^{2}} + \frac{c}{a} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} α^{3} + β^{3} \\ = (α + β) (α^{2} - α β + β^{2}) \\ = (α + β) ({(α + β)}^{2} - 3 α β) \\ = - \frac{b}{a} (\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{3 c}{a}) \end{array}$
3. $\begin{array}{l} \frac{1}{α^{2}} + \frac{1}{β^{2}} \\ = \frac{α^{2} + β^{2}}{α^{2} β^{2}} \\ = \frac{{(α + β)}^{2} - 2 α β}{{(α β)}^{2}} \\ = \frac{\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2 c}{a}}{\frac{c^{2}}{a^{2}}} \\ = \frac{b^{2} - 2 a c}{c^{2}} \end{array}$
4. $\begin{array}{l} α^{4} + β^{4} \\ = {(α^{2} + β^{2})}^{2} - 2 {(α β)}^{2} \\ = ({(α + β)}^{2} - 2 α β) - 2 {(α β)}^{2} \\ = {(\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2 c}{a})}^{2} - \frac{2 c^{2}}{a^{2}} \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, solve print('14.') def discriminant(a, b, c): return b ** 2 - 4 * a * c x = symbols('x') a, b, c = symbols('a:c') eq = a * x ** 2 + b * x + c alpha, beta = solve(eq, x) d = discriminant(a, b, c) class MyTestCase(TestCase): def test14(self): self.assertEqual( d.simplify(), (a ** 2 * (alpha - beta) ** 2).simplify()) def test15_1(self): self.assertEqual(((2 * alpha + beta) * (alpha + 2 * beta)).simplify(), (2 * b ** 2 / a ** 2 + c / a).simplify()) def test15_2(self): self.assertEqual((alpha ** 3 + beta ** 3).simplify(), (-b / a * (b ** 2 / a ** 2 - 3 * c / a)).simplify()) def test15_3(self): self.assertEqual((1 / alpha ** 2 + 1 / beta ** 2).simplify(), ((b ** 2 - 2 * a * c) / c ** 2).simplify()) def test15_4(self): self.assertEqual((alpha ** 4 + beta ** 4).expand(), ((b ** 2 / a ** 2 - 2 * c / a) ** 2 - 2 * c ** 2 / a ** 2).expand()) if __name__ == "__main__": main()

% ./sample14.py -v 14. test14 (__main__.MyTestCase) ... ok test15_1 (__main__.MyTestCase) ... ok test15_2 (__main__.MyTestCase) ... ok test15_3 (__main__.MyTestCase) ... ok test15_4 (__main__.MyTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 5 tests in 0.368s OK %

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2020年3月20日金曜日

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