数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 複素整級数(指数関数・三角関数再論) - 複素級数、部分和、有界、数列、積、収束、コーシーの条件、極限

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.3(複素整級数(指数関数・三角関数再論))、問題6の解答を求めてみる。

$ε > 0$

を任意の正の実数とする。

$\begin{array}{l} n > m \\ |\sum_{k = n}^{m} a_{k} b_{k}| \\ = |\sum_{k = n}^{m - 1} A_{k} (b_{k} - b_{k + 1}) + A_{m} b_{m} - A_{n - 1} b_{n}| \\ < \sum_{k = n}^{m - 1} M (b_{k} - b_{k + 1}) + M (b_{m} - b_{n}) \end{array}$

また、

$\lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$

なので、

ある自然数 N が存在して、

$n \geq N$

ならば、

$\begin{array}{l} |b_{n} - b_{n + 1}| < \frac{ε}{2 M (m - n)} \\ |b_{m} - b_{n}| < \frac{ε}{2 M} \end{array}$

よって、

$\begin{array}{l} |\sum_{k = n}^{n} a_{k} b_{k}| \\ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} \\ < ε \end{array}$

ゆえに、コーシーの条件を満たすので、級数

$\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} b_{k}$

は収束する。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, summation, oo, I, pprint

print('6.')

n = symbols('n', integer=True)
an = 2 / n - 3 / n * I
bn = 1 / n
cn = an * bn


class MyTestCase(TestCase):
    def test_summation(self):
        s = summation(an * bn, (n, 1, oo))
        self.assertLess(abs(s), oo)


for n0 in range(1, 10):
    print(f'n = {n0}')
    pprint(an.subs({n: n0}))
    print()

for n0 in range(1, 10):
    print(f'n = {n0}')
    s = summation(an, (n, 1, n0))
    for o in [s, abs(s)]:
        pprint(o)
        print()
for n0 in range(1, 10):
    pprint(f'n = {n0}')
    pprint(bn.subs({n: n0}))
    print()

for n0 in range(1, 10):
    print(f'n = {n0}')
    s = summation(cn, (n, 1, n0))
    for o in [s, abs(s)]:
        pprint(o)
        print()

s = summation(cn, (n, 1, oo))
pprint(s)
pprint(abs(s))

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py -v
6.
n = 1
2 - 3⋅ⅈ

n = 2
    3⋅ⅈ
1 - ───
     2 

n = 3
2/3 - ⅈ

n = 4
1   3⋅ⅈ
─ - ───
2    4 

n = 5
2   3⋅ⅈ
─ - ───
5    5 

n = 6
1   ⅈ
─ - ─
3   2

n = 7
2   3⋅ⅈ
─ - ───
7    7 

n = 8
1   3⋅ⅈ
─ - ───
4    8 

n = 9
2   ⅈ
─ - ─
9   3

n = 1
2 - 3⋅ⅈ

√13

n = 2
    9⋅ⅈ
3 - ───
     2 

3⋅√13
─────
  2  

n = 3
11   11⋅ⅈ
── - ────
3     2  

11⋅√13
──────
  6   

n = 4
25   25⋅ⅈ
── - ────
6     4  

25⋅√13
──────
  12  

n = 5
137   137⋅ⅈ
─── - ─────
 30     20 

137⋅√13
───────
   60  

n = 6
49   147⋅ⅈ
── - ─────
10     20 

49⋅√13
──────
  20  

n = 7
363   1089⋅ⅈ
─── - ──────
 70    140  

363⋅√13
───────
  140  

n = 8
761   2283⋅ⅈ
─── - ──────
140    280  

761⋅√13
───────
  280  

n = 9
7129   7129⋅ⅈ
──── - ──────
1260    840  

7129⋅√13
────────
  2520  

n = 1
1

n = 2
1/2

n = 3
1/3

n = 4
1/4

n = 5
1/5

n = 6
1/6

n = 7
1/7

n = 8
1/8

n = 9
1/9

n = 1
2 - 3⋅ⅈ

√13

n = 2
5   15⋅ⅈ
─ - ────
2    4  

5⋅√13
─────
  4  

n = 3
49   49⋅ⅈ
── - ────
18    12 

49⋅√13
──────
  36  

n = 4
205   205⋅ⅈ
─── - ─────
 72     48 

205⋅√13
───────
  144  

n = 5
5269   5269⋅ⅈ
──── - ──────
1800    1200 

5269⋅√13
────────
  3600  

n = 6
5369   5369⋅ⅈ
──── - ──────
1800    1200 

5369⋅√13
────────
  3600  

n = 7
266681   266681⋅ⅈ
────── - ────────
88200     58800  

266681⋅√13
──────────
  176400  

n = 8
1077749   1077749⋅ⅈ
─────── - ─────────
 352800     235200 

1077749⋅√13
───────────
   705600  

n = 9
9778141   9778141⋅ⅈ
─────── - ─────────
3175200    2116800 

9778141⋅√13
───────────
  6350400  

 2      2
π    ⅈ⋅π 
── - ────
3     2  
     2
√13⋅π 
──────
  6   
test_summation (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.141s

OK
%

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2020年3月9日月曜日

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