数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 複素整級数(指数関数・三角関数再論) - 正弦と余弦、実部と虚部、三角関数の加法定理(正弦と余弦)

解析入門(上)
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.3(複素整級数(指数関数・三角関数再論))、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{l}\sin z\\ =\sin \left(x+yi\right)\\ =\sin x\cos \left(yi\right)+\cos x\sin \left(yi\right)\\ =\sin x\frac{e^{iyi}+e^{-iyi}}{2}+\cos x\frac{e^{iyi}-e^{-iyi}}{2i}\\ =\sin x\frac{e^y+e^{-y}}{2}+i\cos x\frac{e^y-e^{-y}}{2}\end{array}$

   よって、 正弦の実部と虚部は、

   $\begin{array}{l}\mathrm{Re}\left(\sin z\right)=\sin x\frac{e^y+e^{-y}}{z}\\ \mathrm{Im}\left(\sin z\right)=\cos x\frac{e^y-e^{-y}}{2}\end{array}$

   余弦について、

   $\begin{array}{l}\cos z\\ =\cos \left(x+yi\right)\\ =\cos x\cos yi-\sin x\sin yi\\ =\cos x\frac{e^{-y}+e^y}{2}-\sin x\frac{e^{-y}-e^y}{2i}\\ =\cos x\frac{e^y+e^{-y}}{2}-i\sin x\frac{e^y-e^{-y}}{2}\\ \mathrm{Re}\left(\cos z\right)=\cos x\frac{e^y+e^{-y}}{2}\\ \mathrm{Im}\left(\cos z\right)=-\sin x\frac{e^y-e^{-y}}{2}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, sin, cos, I, exp

print('5.')

x, y = symbols('x, y', real=True)
z = x + y * I


class MyTestCase(TestCase):
    def test_sine(self):
        r, i = sin(z).as_real_imag()
        self.assertEqual(r, (sin(x) * (exp(y) + exp(-y)) / 2).simplify())
        self.assertEqual(i, (cos(x) * (exp(y) - exp(-y)) / 2).simplify())

    def test_cosine(self):
        r, i = cos(z).as_real_imag()
        self.assertEqual(r, (cos(x) * (exp(y) + exp(-y)) / 2).simplify())
        self.assertEqual(i, (-sin(x) * (exp(y) - exp(-y)) / 2).simplify())


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py -v
5.
test_cosine (__main__.MyTestCase) ... ok
test_sine (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.460s

OK
%