数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 複素整級数(指数関数・三角関数再論) - 等式を満たす複素数、複素変数の指数関数と三角関数との間の関係式(正弦と余弦)

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.3(複素整級数(指数関数・三角関数再論))、問題2の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} 2 \\ = 2 (\cos (0 + 2 n π) + i \sin (0 + 2 n π)) \\ = e^{\log 2} e^{2 n π i} \\ = e^{\log 2 + 2 n π i} \\ n \in ℤ \end{array}$
  
  よって、
  
  $z = \log 2 + 2 n π i$
2. $\begin{array}{l} - 1 \\ = \cos (π + 2 n π) + i \sin (π + 2 n π) \\ = e^{(π + 2 n π) i} \\ z = (π + 2 n π) i \end{array}$
3. $\begin{array}{l} i \\ = \cos (\frac{π}{2} + 2 n π) + i \sin (\frac{π}{2} + 2 n π) \\ z = (\frac{π}{2} + 2 n π) i \end{array}$
4. $\begin{array}{l} - 1 - i \\ = \sqrt{2} (- \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i) \\ = \sqrt{2} (\cos (\frac{5}{4} π + 2 n π) + i \sin (\frac{5}{4} π + 2 n π)) \\ z = \log \sqrt{2} + (\frac{5}{4} π + 2 n π) i \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import I, pi, sqrt, exp, log, symbols print('2.') class MyTestCase(TestCase): def test(self): n = symbols('n', integer=True) ys = [(2, 0), (-1, 0), (0, 1), (-1, -1)] zs = [log(2) + 2 * n * pi * I, (pi + 2 * n * pi) * I, (pi / 2 + 2 * n * pi) * I, log(sqrt(2)) + (5 * pi / 4 + 2 * n * pi) * I] for i, ((a, b), z) in enumerate(zip(ys, zs), 1): print(f'({i})') for n0 in range(-5, 6): c, d = exp(z.subs({n: n0})).as_real_imag() self.assertEqual(a, c) self.assertEqual(b, d) if __name__ == "__main__": main()

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2020年3月5日木曜日

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