数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 複素整級数(指数関数・三角関数再論) - 三角関数の加法定理(正弦と余弦)

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.3(複素整級数(指数関数・三角関数再論))、問題4の解答を求めてみる。

- $\begin{array}{l} \sin z \cos w + \cos z \sin w \\ = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} \cdot \frac{e^{i w} + e^{- i w}}{2} + \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2} \cdot \frac{e^{i w} - e^{- i w}}{2 i} \\ = \frac{1}{4 i} (e^{i (z + w)} + e^{i (z - w)} - e^{i (- z + w)} - e^{i (- z - w)} + e^{i (z + w)} - e^{i (z - w)} + e^{i (- z + w)} - e^{i (- z - w)}) \\ = \frac{1}{4 i} (2 e^{i (z + w)} - 2 e^{- i (z + w)}) \\ = \frac{e^{i (z + w)} - e^{- i (z + w)}}{2 i} \\ = \sin (z + w) \end{array}$
- $\begin{array}{l} \cos z \cos w - \sin z \sin w \\ = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2} \cdot \frac{e^{i w} + e^{- i w}}{2} - \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} \cdot \frac{e^{i w} - e^{- i w}}{2 i} \\ = \frac{e^{i (z + w)} + e^{i (z - w)} + e^{i (- z + w)} + e^{- i (z + w)}}{4} \\ + \frac{e^{i (z + w)} - e^{i (z - w)} - e^{i (- z + w)} + e^{- i (z + w)}}{4} \\ = \frac{2 e^{i (z + w)} + 2 e^{- i (z + w)}}{4} \\ = \frac{e^{i (z + w)} + e^{- i (z + w)}}{z} \\ = \cos (z + w) \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, sin, cos print('4.') z, w = symbols('z, w', imag=True) class MyTestCase(TestCase): def test_sine(self): a, b = sin(z + w).as_real_imag() c, d = (sin(z) * cos(w) + cos(z) * sin(w)).as_real_imag() self.assertEqual(a.simplify(), c.simplify()) self.assertEqual(b.simplify(), d.simplify()) def test_cosine(self): a, b = cos(z + w).as_real_imag() c, d = (cos(z) * cos(w) - sin(z) * sin(w)).as_real_imag() self.assertEqual(a.simplify(), c.simplify()) self.assertEqual(b.simplify(), d.simplify()) if __name__ == "__main__": main()

% ./sample4.py -v 4. test_cosine (__main__.MyTestCase) ... ok test_sine (__main__.MyTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 2 tests in 1.312s OK %

Kamimura's blog

2020年3月7日土曜日

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